Equações Diferenciais

Nessa categoria desenvolvemos o conteúdo que envolve a teoria básica e aplicações de equações diferenciais, ordinárias e parciais, transformada de Laplace, séries e transformadas de Fourier.

Além disso, trazemos soluções de equações que modelam fenômenos físicos importantes como as EDOs que governam circuitos elétricos e sistemas mecânicos, além de EDPs que controlam dissipação de calor, ondas e diversos outros fenômenos naturais.

Abaixo temos os tópicos sobre EQUAÇÕES DIFERENCIAIS abordados em sequência. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado ao conteúdo 

Capítulo 1 – Introdução ao Conceito de Equações Diferenciais

1.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.2 – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.3 – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.4 – 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

Capítulo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem:

2.1 – Teorema da Existência e Unicidade de Soluções e Plano de Fase

2.2 – EDO’s Separáveis

2.2.1 – EDO’s Separáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.2.2 – EDO’s Separáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.2.3 – EDO’s Separáveis | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.3 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem

2.3.1 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.3.2 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.4 – EDO’s Exatas – Fatores Integrantes

2.4.1 – EDO’s Exatas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.4.2 – EDO’s Exatas | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.4.3 – EDO’s Exatas | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.4.4 – EDO’s Exatas | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.4.5 – EDO’s Exatas | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.5 – EDO’s Lineares

2.5.1 – EDO’s Lineares – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.5.2 – EDO’s Lineares – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.6 – EDO’s de Bernoulli e Ricatti

2.6.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos de Bernoulli e Ricatti

2.6.2 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos de Bernoulli

2.7 – Substituições

2.8 – Exercícios Resolvidos

2.8.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem

2.8.2 – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem

2.8.3 – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem

2.8.4 – 4ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem

2.8.5. – 5ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem

2.8.6. – 6ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem

2.8.7. – 7ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem

2.8.8. – 8ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem

2.9 – Aplicações da E.D.O.’s de Primeira Ordem:

2.9.1 – Dinâmica Populacional – Modelos de Malthus, Verhulst (ou logístico) e Gompertz

2.9.2 – A Lei do Resfriamento de Newton

Capítulo 3 – Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior

Capítulo 4 – Equações Diferenciais de Segunda Ordem:

4.1 – EDO’s Homogêneas com Coeficientes Constantes

4.1.1 – EDOs 2ª Ordem Homogêneas e Coef. Constantes | Exercícios Resolvidos

4.2 – EDO’s Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes: Método dos Coeficientes Indeterminados.

4.2.1 – Coeficientes Indeterminados | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.2.2 – Coeficientes Indeterminados | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.2.3 – Coeficientes Indeterminados | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.2.4 – Coeficientes Indeterminados | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.2.5 – Coeficientes Indeterminados | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.3 – EDO’s Lineares: O Princípio da Superposição

4.3.1 – O Princípio da Superposição – Exercícios Resolvidos

4.4 – EDO’s Homogêneas: Conjunto Fundamental de Soluções e Wronskiano

4.4.1 – E.D.O.’s Homogêneas de 2ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.4.2 – E.D.O.’s Homogêneas de 2ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.5 – O Método da Redução de Ordem

4.5.1 – 1ª Lista de Exercícios

4.6 – A Equação de Euler-Cauchy

4.7 – Equações de 2ª Ordem tem o termo y(t)

4.8 – EDO’s Lineares: O Método da Variação dos Parâmetros

4.8.1 – Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.8.2 – Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.8.3 – Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.8.4 – Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.8.5 – Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.8.6 – Método da Variação dos Parâmetros | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.8.7 – Método da Variação dos Parâmetros | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos

4.9 – Exercícios Resolvidos sobre Equações Lineares de 2ª Ordem

4.9.1 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos.

4.9.2 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos.

4.9.3 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos.

4.9.4 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos.

4.9.5 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos.

4.9.6 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos.

Capítulo 5 – A Transformada de Laplace

5.1 – Transformada de Laplace – Definição, exemplos e propriedades

5.1.1 – Transformada de Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.1.2 – Transformada de Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.1.3 – Transformada de Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.1.4 – Transformada de Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.1.5 – Transformada de Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.1.6 – Transformada de Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.2 – A Transformada de Laplace Inversa

5.2.1 – Transformada de Laplace Inversa | Lista de Exercícios Resolvidos

5.3 – Tabela Completa de Transformadas de Laplace

5.4 – A Função Degrau ou Função de Heaviside

5.4.1 – Função Degrau Unitário | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.4.2 – Função Degrau Unitário | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.5 – A Função Delta de Dirac

5.5.1 – Lista de Exercícios sobre Delta de Dirac

5.6 – A Convolução

5.6.1 – Equação Integral de Volterra

5.6.2 – A Convolução – Lista de Exercícios Resolvidos

5.7 – Propriedade da Derivada de F(s)

5.8 – Transformada de Laplace de Uma Função Periódica

5.9 – Solucionando Equações Diferenciais Ordinárias via Transformada de Laplace

5.9.1 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.2 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.3 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.4 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.5 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.6 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.7 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.8 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.9 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.10 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.11 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.12 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 12ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.13 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 13ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.14 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 14ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.15 – Resolvendo EDOs por Laplace | 15ª Lista de Exercícios Resolvidos

5 .10 – Transformada de Laplace | Sistema Linear de Equações Diferenciais de 1ª Ordem com Coeficientes Constantes

5.11 – Aplicações da Transformada de Laplace

5.11.1 – Circuitos Elétricos em Série

5.11.2 – Equação Integral de Volterra | Convolução e Transformada de Laplace

5.11.3 – A Solução da Equação da Onda Unidimensional Usando a Transformada de Laplace

Capítulo 6 – Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Por Séries de Potências

6.1 – Introdução à solução de EDOs por Séries de Potência

6.1.1 – E.D.O.’s e as Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

6.2 – E.D.O.’s Por Séries de Potência | Solução em Torno de Pontos Ordinários

6.2.1 – Solução de E.D.O.’s por Séries de Potências em Torno de Pontos Ordinários | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

6.3 – Soluções em Torno de Pontos Singulares: O Método de Frobenius

6.4 – A Equação de Legendre e os Polinômios de Legendre

6.5 – A Equação de Bessel

6.5 – A Equação de Weber e os Polinômios de Hermite

Capítulo 7 – Análise de Fourier

7.1 – Funções Periódicas

7.2 – A Ortogonalidade das Funções Seno e Cosseno

7.3 – Os Coeficientes de Fourier

7.4 – Séries de Fourier – Definição, Exemplos e Condições de Dirichlet

7.4.1 – Séries de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

7.4.2 – Séries de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

7.4.3 – Séries de Fourier | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

7.5 – Séries de Fourier – A Expansão em Meio Intervalo

7.5.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos sobre Expansão em Meio Intervalo

7.6 – Diferenciação e Integração da Série de Fourier

7.7 – A Integral de Fourier – Fator Descontínuo de Dirichlet e Integrais de Laplace

7.7.1 – 1ª Lista de Exercícios Sobre a Integral de Fourier

7.7.2 – 2ª Lista de Exercícios Sobre a Integral de Fourier

7.8 – Transformada de Fourier | Introdução aos conceitos básicos

7.8.1 – Transformada de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

7.8.2 – Transformada de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos.

7.8.3 – Transformada de Fourier | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos.

7.9 – Transformadas Seno e Cosseno de Fourier

7.9.1 – Transformadas Seno e Cosseno de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

7.10 – A Convolução e a Transformada de Fourier

7.11 – A Identidade de Parseval

7.12 – Resolvendo Problemas de Valores de Contorno Usando Séries, Integrais e Transformadas de Fourier

Capítulo 8 – Equações Diferenciais Parciais

8.1 – Uma Introdução às Equações Diferenciais Parciais

Capítulo 9 – A Equação das Ondas

9.1 – Corda Vibrante Finita | A Equação da Onda Unidimensional

9.1.1 – 1ª Lista de Exercícios

9.2 – A Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita

Capítulo 10 – A Equação do Calor

10.1 – Resolvendo Equação do Calor Unidimensional numa Haste Finita Usando as Séries de Fourier

10.2 – Resolvendo A Equação do Calor Numa Haste Infinita Usando a Transformada de Fourier

10. 3 – Resolvendo a Equação do Calor Numa Haste Semi-Infinita Usando a Integral de Fourier

10. 4 – Resolvendo a Equação do Calor Numa Chapa Semi-Infinita Usando a Transformada Cosseno de Fourier

Capítulo 11 – Aplicações dos Sistemas de Equações Diferenciais

11.1 – Modelo SIS de Propagação de Infecção | Matemática Aplicada à Epidemiologia

Apêndice 1 – Funções Especiais

A.1 Funções Especiais | Gama, Beta, Erro, Exponencial Integral, Seno e Cosseno Integral, Funções de Fresnel

A.2 A Função Gama

A.2.1 Função Gama | Lista de Exercícios Resolvidos

A.3 A Função Erro de Gauss

A.4 A Função Beta | Definição, Propriedades e Exercícios Resolvidos

Bibliografia

O site Matemática Simplificada foi criado com o intuito de auxiliar no estudo e no aprendizado da matemática, desde os tópicos mais básicos até os conteúdos das disciplinas usualmente tratadas nas graduações que envolvem ciências exatas.

Grande parte do conteúdo aqui apresentado é retirado de livros usados como livros-texto nos cursos de graduação e selecionado à partir das ementas destes mesmos cursos.

Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina.

GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.

ÁVILA, G. Variáveis Complexas e Aplicações, LTC, Rio de Janeiro,1990

BOYCE, W.; DIPRIMA R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,2002

BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.

EDWARDS, C. H.; PENNEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,1995.

THOMAS, G. B. Cálculo, Editora Pearson Education, São Paulo, 2002.

ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Editora Pioneira –

Thomson Learning, São Paulo, 2003.

SPIEGEL, M. R. Análise de Fourier, McGraw-Hill, São Paulo, 1976.

KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.

Equações Diferenciais Ordinárias Séries de Potências Pontos Ordinários Ponto Ordinário Solução

E.D.O.’s Por Séries de Potência | Solução em Torno de Pontos Ordinários

Neste artigo quero aprofundar um pouco mais na técnica de solução das equações diferenciais ordinárias (E.D.O.) de 2ª ordem homogêneas através de séries de potências em torno de um ponto ordinário, enunciando o Teorema da Existência de Soluções para este tipo de abordagem além de mais alguns aspectos técnicos.

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