Método da Variação dos Parâmetros | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma sexta lista de exercícios resolvidos sobre o Método da Variação dos parâmetros para E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem. O método da variação dos parâmetros foi idealizado pelo matemático francês Lagrange e pode ser visto como uma continuidade do método dos coeficientes indeterminados. Este método nos dá uma solução particular da equação y''+ p(t)y'+q(t)y=g(t), uma vez que são conhecidas soluções da equação homogênea y''+ p(t)y'+q(t)y=0.

A idéia crucial é substituir as constantes c_1 e c_2 na equação y(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t) por funções u_1 (t) e u_2 (t). Assim, y(t) = u_1 (t) y_1(t) +u_2 (t) y_2(t). Agora, determinamos y' e y'' e substituímos ambos na equação não homogênea.

Assim, chegaremos a uma solução particular da EDO não-homogênea é dada por \psi(t) = -y_1(t) \int{\dfrac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\dfrac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt, e a solução geral será dada por y=c_1y_1(t) + c_2 y_2 (t)+\psi (t).

6ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre o Método da Variação dos Parâmetros:

1) Resolva as EDOs abaixo:

a) y'' - y = \dfrac{1}{x} ;

SOLUÇÃO: A equação auxiliar m^2-1 = tem raízes m_1 = -1 e m_2 = 1. Desta forma, $$y_{h}(x) = c_1 e^{x} + c_2 e^{-x}$$ com \{ e^{x} , e^{-x} \} como um C.F.S. e W\left( e^{x} , e^{-x} \right) = -2 . Portanto, usando o Método da Variação dos Parâmetros encontramos $$y_{p}(x) = \frac{1}{2}e^x \int\limits_{x_0}^{x}{\frac{e^{-t}}{t}dt} – \frac{1}{2}e^x \int\limits_{x_0}^{x}{\frac{e^{t}}{t}dt} , $$ assim $$y(x) = c_1 e^{x} + c_2 e^{-x} + \frac{1}{2}e^x \int\limits_{x_0}^{x}{\frac{e^{-t}}{t}dt} – \frac{1}{2}e^x \int\limits_{x_0}^{x}{\frac{e^{t}}{t}dt} .$$

b) x^2 y'' - 4xy' +6y = \dfrac{1}{x} ;

SOLUÇÃO: Observe que a equação homogênea associada é de Euler-Cauchy: x^2 y'' - 4xy' +6y = 0. Logo, encontramos facilmente como solução $$y_{h}(x) = c_1 x^2 + c_2 x^3,$$ donde encontramos \{ x^2 , x^3 \} como um C.F.S. e W\left( x^2 , x^3 \right) = x^4 . Portanto, usando o Método da Variação dos Parâmetros obtemos $$y_{p}(x) = -x^2\int{x^{-4}dx}+x^3\int{x^{-3}dx} = x^2 \left( \frac{1}{3x^3} \right)-x^3\left( \frac{1}{2x^2} \right) = \frac{1}{3x} – \frac{x}{2}=\frac{2+3x^2}{6x}$$ e com isso $$y(x) = c_1 x^2 + c_2 x^3 + \frac{2+3x^2}{6x}.$$

c) y'' - 4y' + 4y = (x+1)e^{2x} 

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada, y'' - 4y' + 4y = 0  , possui solução dada por $$y_{H}(x) = c_1 e^{2x} +c_2 x e^{2x} .$$

Com isso, um Conjunto Fundamental de Soluções desta equação é dado por $$ \{ e^{2x} , x e^{2x} \}, $$ com Wronskiano dado por $$ W(e^{2x} , x e^{2x}) = e^{2x} (2xe^{2x}  + e^{2x} )- 2e^{2x} xe^{2x} = e^{4x} .$$

Usando o  Método da Variação dos Parâmetros encontramos $$y_{P} (x) = – e^{2x} \int{\frac{xe^{2x} (x+1)e^{2x}}{e^{4x}} dx} + x e^{2x} \int{\frac{e^{2x} (x+1)e^{2x} }{e^{4x}} dx} = $$ $$ = – e^{2x} \int{x(x+1)dx} + x e^{2x} \int{(x+1) dx} $$ $$= – e^{2x} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right) + x e^{2x} \left( \frac{x^2}{2} +x \right)$$

Portanto a solução da EDO é dada por $$y(x) = c_1 e^{2x} +c_2 x e^{2x} – e^{2x} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right) + x e^{2x} \left( \frac{x^2}{2} +x \right) .$$

d) y''+9y = sec^2 (3t)

Primeiramente vamos encontrar a solução da equação homogênea associada y'' + 9y = 0:

$$y” + 9y= 0 \Rightarrow \lambda ^2 + 9= 0 \Rightarrow \lambda _1 =3i\;\;e\;\; \lambda _2 = -3i.$$

Logo, $$y_{H} (t) = c_1 cos(3t) + c_2 sen(3t).$$

Nesse caso, tomamos y_1(t) = cos(3t) e y_2(t) = sen(3t) e facilmente podemos ver que W \left( y_1 , y_2 \right) = 3 .

Agora, usando o Método da variação dos parâmetros,

$$y_p (t) = -cos(3t) \int{\frac{sen(3t) sec^2 (3t)}{3}dt} + sen(3t) \int{ \frac{cos(3t) sec^2 (3t)}{3} dt}=$$ $$=\frac{1}{9} – \frac{sen(3t)}{18} \ln{\left(  \frac{sen(3t) -1}{sen(3t) +1}  \right)}.$$

Portanto, $$y(t) = c_1 cos(3t) + c_2 sen(3t) + \frac{1}{9} – \frac{sen(3t)}{18} \ln{\left(  \frac{sen(3t) -1}{sen(3t) +1}\right)}.$$

e) y'' - 2 y' = e^x sen(x)

SOLUÇÃO: A solução da equação homogênea associada, y'' - 2 y' = 0 possui solução dada por $$y_h (x) = c_1 + c_2 e^{2x} . $$

Agora podemos usar o Método da Variação dos Parâmetros para encontrar y_p (x) . Observando que um C.F.S. da equação homogênea associada é \{ 1, e^{2x} \} , calculamos W \left( 1, e^{2x} \right) = 2 e^{2x} . Assim:

$$y_p (x) = – \int{\frac{e^{2x} e^x sen(x)}{2 e^{2x}} dx} + e^{2x} \int{\frac{e^x sen(x)}{2 e^{2x}} dx} $$

$$y_p (x) = – \int{e^x sen(x) dx} + e^{2x} \int{e^{-x} sen(x) dx} $$

$$y_p (x) = -\frac{{e}^{x}\,\mathrm{sen}\left( x\right) }{2}$$

O que nos levaria a $$ y(x) = c_1 + c_2 e^{2x} -\frac{{e}^{x}\,\mathrm{sen}\left( x\right) }{2} $$

Mais Listas de Exercícios Resolvidos Sobre a Variação dos Parâmetros:

• Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
  
• Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

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