Introdução às Equações Diferenciais | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar mais uma lista de exercícios resolvidos envolvendo as bases conceituais para o estudo das equações diferenciais, com vistas a uma análise abrangente, seja ela qualitativa ou quantitativa.

Uma equação diferencial, grosso modo, é uma relação entre uma função e suas derivadas. Uma definição rigorosa do que é uma equação diferencial é dada da seguinte forma: Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de de equação diferencial.

Introdução às Equações Diferenciais | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função y(t) dada é uma solução da equação diferencial correspondente. Classifique cada uma das equações diferenciais.

a) y' + tan(t) y = 0; y(t) = k cos(t), onde k é uma constante real;

SOLUÇÃO: Observe que y'(t) = - k sen(t). Logo, substituindo na equação diferencial ordinária linear de primeira ordem do enunciado, obtemos $$ y’ + tan(t) y = – k sen(t) +  k tan(t)cos(t) = $$ $$= – k sen(t) +  k \frac{sen(t)}{cos(t)} cos(t)  = – k sen(t)+ k sen(t) = 0.$$ Portanto, y(t) = k cos(t) é uma solução da equação.

b) \left(y' \right)^2 - xy' + y = 0; y_1(x) = kx - k^2 e y_2(x) = \dfrac{x^2}{4}, onde k é uma constante real.

SOLUÇÃO: Agora, temos uma equação diferencial ordinária de primeira ordem não-linear.

Observe que y_1 '(x) = k . Logo, \left(y' \right)^2 - xy' + y = k^2 - xk +kx - k^2 = 0, mostrando que y_1(x) é solução da equação diferencial.

Agora, observe que y_2 '(x) = \dfrac{x}{2} . Assim, \left(y' \right)^2 - xy' + y = \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{4} = 0, mostrando que y_2(x) é solução da equação diferencial.

2) A equação $$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0$$ é conhecida como Equação de Laplace. Verifique se as funções u_1(x,y) =x^2 - y^2 , u_2(x,y) =e^x cos(y) e u_3(x,y) = \ln \left( x^2 + y^2 \right) são soluções da Equação de Laplace.

SOLUÇÃO: i) Primeiramente vamos estudar a função u_1(x,y) =x^2 - y^2 , que tem derivadas parciais dadas por $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \qquad \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 2 $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = – 2y \qquad \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = – 2 . $$ Logo, podemos ver que ela é solução da equação de Laplace $$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 2 -2 = 0.$$

ii) Agora, consideremos a função u_2(x,y) =e^x cos(y) . Sua derivadas parciais são $$ \frac{\partial u}{\partial x} = e^x cos(y) \qquad \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = e^x cos(y) $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = – e^x sen(y) \qquad \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = – e^x cos(y) . $$ Logo, podemos ver que ela é solução da equação de Laplace $$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = e^x cos(y) – e^x cos(y) = 0.$$

iii) Por fim, considere u_3(x,y) = \ln \left( x^2 + y^2 \right) . Sua derivadas parciais são $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2 } \qquad \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac{2\,{y}^{2}-2\,{x}^{2}}{{y}^{4}+2\,{x}^{2}\,{y}^{2}+{x}^{4}} $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2 } \qquad \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = – \frac{2\,{y}^{2}-2\,{x}^{2}}{{y}^{4}+2\,{x}^{2}\,{y}^{2}+{x}^{4}} . $$ Logo, podemos ver que ela é solução da equação de Laplace $$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = \frac{2\,{y}^{2}-2\,{x}^{2}}{{y}^{4}+2\,{x}^{2}\,{y}^{2}+{x}^{4}} – \frac{2\,{y}^{2}-2\,{x}^{2}}{{y}^{4}+2\,{x}^{2}\,{y}^{2}+{x}^{4}} = 0.$$

3) Encontre uma solução para as equações diferenciais abaixo usando apenas técnicas de cálculo, ou seja, sem o uso de métodos para soluções de EDO’s.

a) y' = cos(x);

SOLUÇÃO: Queremos um função y(x) cuja derivada seja igual a cos(x) . Usando integração definida, podemos encontrar $$y(x) = \int{cos(x)dx} = sen(x) + c .$$

b) y'' + 4y = 0. 

SOLUÇÃO: Agora, queremos uma função cuja derivada segunda seja igual a ela mesma multiplicada por -4. De fato, y'' + 4y = 0 \Rightarrow y'' = -4y . Lembremos que as derivadas da função cos(ax) obedecem à regra \left[ cos(ax) \right] '' = -(a)^2 cos(ax). Logo, se a =2 obtemos uma solução da equação. De fato, fazendo y(x) = cos(2x) na EDO, encontramos $$y” + 4y = -4 cos(2x) + 4 cos(2x) = 0.$$

Por um raciocínio análogo podemos encontrar outra solução desta EDO dada por y(x) = sen(x) . Na verdade qualquer função na forma y(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sen(2x) é solução desta EDO.

4) Sabendo que y_1 = x^2 e y_2 = x^3 são soluções da equação $$x^2 y” – 4xy’ + 6y = 0,$$ mostre que as funções y_3 = c_1 y_1, y_4 = c_2 y_2 e y_5 = c_1 y_1 + c_2 y_2, sendo c_1 e c_2 constantes reais arbitrárias, também soluções desta equação.

SOLUÇÃO: Basicamente, basta mostrarmos que  y_5 = c_1 y_1 + c_2 y_2 é solução da equação diferencial, pois, y_3 = c_1 y_1 e y_4 = c_2 y_2 são casos particulares, com c_2 = 0 e c_1 = 0 , respectivamente.

Neste caso, y_5 = c_1 x^2 + c_2 x^3 = x^2 (c_1 + x c_2) que tem derivadas dadas por $$ y_5 ‘ = 2 c_1 x + 3 c_2 x^2;  \qquad y_5 ” = 2 c_1 + 6 c_2 x .$$ Substituindo na EDO, obtemos $$x^2 y” – 4xy’ + 6y = x^2 (2 c_1 + 6 c_2 x)- 4x(2 c_1 x + 3 c_2 x^2) + 6 (c_1 x^2 + c_2 x^3) = $$ $$ = 2 c_1 x^2 + 6 c_2 x^3 – 8 c_1 x^2 – 12 c_2 x^3 + 6c_1 x^2 + 6c_2 x^3 = 0.$$ Portanto, y_5 = c_1 x^2 + c_2 x^3 é solução da EDO do enunciado.

Leia Mais:

• Equações Diferenciais | Introdução aos Conceitos Básicos
• Introdução às Equações Diferenciais | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Introdução às Equações Diferenciais | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Equações Diferenciais Parciais | Uma Introdução aos Conceitos Básicos

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