Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem: Substituições

Nesse artigo, queremos estudar casos especiais de EDO’s de primeira ordem que demandam substituições de variáveis. Em geral, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é representada por  \dfrac{dy}{dt}= f\left(t,y \right) onde f é uma função nas variáveis t e y. Nosso problema consiste em: Dada f\left(t,y \right), encontre funções y(t) que satisfaçam essa equação.

O que garante a existência de tais soluções é o teorema da existência e unicidade de soluções para equações diferenciais de primeira ordem, que sob certas condições asseguram a existência de um intervalo que tal solução está definida.

Substituições nas EDOs de Primeira Ordem

Como vimos no artigo sobre EDOs de Bernoulli e Ricatti, algumas substituições de variáveis podem nos ajudar a solucionar algumas equações diferenciais especiais. Embora para EDO’s alheias aos formatos de Ricatti e Bernoulli não exista uma regra geral de mudança de variáveis, em diversos casos algo pode ser feita para que possamos solucionar tal equação.

EXEMPLO: Considere a equação diferencial y(1+2xy)dx+x(1-2xy)dy = 0.

Claramente percebemos que esta equação não é separável, nem linear e tão pouco uma equação de Bernoulli.

Entretanto, o fator 2xy nos impele a tentar a substituição u=2xy que nos leva a y=\dfrac{u}{2x};\;\;\;\;\;\;\;\;y' = \dfrac{2xyu' - 2u}{2x^2} \Rightarrow dy = \dfrac{2xydu - 2udx}{2x^2}.

Substituindo na equação original, \dfrac{u^2}{x}dx+x(1-u)xdu que é uma equação separável com solução igual a 2\ln|x| - u^{-1} - \ln{|u|} = c que, voltando para as variáveis originais, nos fornece a solução y=\dfrac{1}{2x\left(\ln{\left| \dfrac{x}{2y} \right|} -c \right)}.

EXEMPLO: Resolva 2xyy'+2y^2 = 3x-6.

Neste caso, somos levados a realizar a mudança de variáveis u=y^2, por causa do termo 2yy'.

Daí, u' = 2yy' e a equação se torna xu'+2u=3x-6 que tem a forma linear u'+\dfrac{2}{x}u = 3- \dfrac{6}{x}.

Utilizando a técnica do fator integrante encontramos a solução implícita x^2y^2 = x^3-3x^2+c.

EXEMPLO: Resolva xy' - y = \dfrac{x^3}{y}e^{y/x}.

Nossa mudança de variável agora é u=\dfrac{y}{x}, nos fornecendo y=ux\;\;\;\;\;y' = u + u'x e transformando a EDO original em ue^{-u}du = dx, que por integração por partes fornece a soluçãoy+x = x(c_1 - x)e^{y/x}.

EXEMPLO: Encontre a substituição adequada para solucionar as EDOs abaixo:

a) sen(y) \dfrac{dy}{dx} = cos(x) \left( 2 cos(y) - sen^2 (x) \right)

SOLUÇÃO: Na nova variável v = cos(y) a equação é reescrita como uma equação linear que é dada por $$ \frac{dv}{dx} + 2v cos(x) = sen^2 (x) cos(x) $$ para a qual \mu (x) = e^{2 sen(x)}   é um fator de integração. Então, $$v e^{2 sen(x)} = \int{e^{2 sen(x)} sen^2 (x) cos(x) dx} = \\ = \frac{1}{2} e^{2 sen(x)} sen^2 (x) – \frac{1}{2} e^{2 sen(x)} sen(x) + \frac{1}{4}e^{2 sen(x)} + C, $$ ou seja, $$ cos(y) = \frac{1}{2} sen^2 (x) – \frac{1}{2}  sen(x) + \frac{1}{4} + C e^{-2 sen(x)} .$$

b) x \dfrac{dy}{dx} - y +3x^3 y - x^2 = 0

SOLUÇÃO: Aqui temos uma EDO homogênea e podemos usar a transformação y = v x . Então transformaremos esta equação numa EDO linear dada por $$ \frac{dv}{dx} + 3x^2 v = 1 $$ para a qual \mu (x) = e^{x^3} é um fator integrante. Logo, $$v e^{x^3} = \int{e^{x^3}dx} .$$ Como esta é uma integral que não permite solução analítica, ela esta escrita em termos da função gama incompleta: $$ \int{e^{x^3}dx} = \frac{1}{3} \gamma \left(-x^3 , \frac{1}{3} \right)$$. Ou seja, nossa solução implícita geral será dada por $$ y = \frac{1}{3} x e^{-x^3} \gamma \left(-x^3 , \frac{1}{3} \right) + C x e^{-x^3} .$$

c) y'' = 2x \left( y' \right)^2

SOLUÇÃO: Façamos y' = u , logo, esta equação de segunda ordem se torna a EDO de primeira ordem $$ u’ = 2x u^2 $$ que é separável e tem solução dada por $$\frac{du}{u^2} = 2x dx $$ que nos leva à solução $$ u = \frac{1}{x^2 + c} .$$ Como y' = u , então$$ y = \int{udx} = \int{\frac{1}{x^2 + c} dx} $$ portanto, $$ y(x) =  \left\{ \begin{array}{lll} \sqrt{c}\; \mathrm{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{c}} \right) + k & ; & \text{se c > 0} ;\\ \beta \frac{\mathrm{log}\left( x-1\right) }{2}- \beta \frac{\mathrm{log}\left( x+1\right) }{2} & ; &  \text{se c < 0 e}\;\;\; c = -\beta^2 \\ – \frac{1}{x} + k & ; & \text{se c = 0} \end{array} \right.$$

Listas de Exercícios Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem:

• EDO’s de Ricatti e de Bernoulli | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s de 1ª Ordem Lineares | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s de 1ª Ordem Separáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDOs de 1ª Ordem | 1ª Lista Exercícios Resolvidos
• EDO’s de 1ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

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• Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem Separáveis.
• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem.
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