Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 5ª Lista de Exercícios

Resolva as Equações Diferenciais abaixo usando a Transformada de Laplace:

1) y' - 3y = e^{2t}, \;\;\; y(0)=1; 

SOLUÇÃO: 

2) y'' - 6y' + 9y = t^2 e^{3t}, \;\;\; y(0)=2, y'(0) = 6; 

SOLUÇÃO: 

3) y'' + 4y' + 6y = 1 + e^{-t} , \;\;\; y(0)=0, y'(0) = 0;  

SOLUÇÃO: 

4) x'' + 16x = f(t), \;\;\; x(0)=0, x'(0) = 1;   onde f(t) = \left\{\begin{array}{rl}cos(4t); & 0 \leq t <\pi \\\\0; & t \geq \pi \end{array}\right.

SOLUÇÃO: f(t)

5) y'' + 2y' + y = u(t-1) - 2 u(t-2) + u(t-3) \;\;\; y(0)=0, \;\;\; y'(0) = 0;  

SOLUÇÃO:

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