Soluções de EDO’s por Séries em Torno de Pontos Singulares: O Método de Frobenius

Algumas equações diferenciais de segunda ordem com aplicações importantes possuem coeficientes que não são analíticos em pontos que devemos desenvolver a série de potências. Para isso, usamos o Método de Frobenius.

No artigo anterior vimos que não há problema para encontrar uma solução em série de potencias para $$ a_2 (x) y” + a_1 (x) y’ + a_0 (x) y = 0 \tag{1} $$ em torno de um ponto x = x_0 . Porém, se x = x_0 for um ponto singular, nem sempre é possível encontrar uma solução na forma de série de potências. Mas o próximo teorema pode ser aplicado.

TEOREMA 1: Qualquer equação diferencial na forma $$ y” + \frac{a(x)}{x} y’ + \frac{b(x)}{x^2} y = 0 \tag{2} $$ onde as funções a(x) e  b(x) são analíticas em x = 0 , tem ai menos uma solução a qual podem ser representadas na forma $$ y(x)  = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m  x ^m} = x^r \left(  c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + …. \right), \qquad c_0 \neq 0\label{3} $$ onde o expoente r pode ser qualquer número real ou complexo.

No teorema acima é importante observar que a variável x pode ser substituída por x - a , onde a é um número real qualquer. A prova deste teorema requer métodos avançados de análise complexa, mas em suma ele nos diz que podemos tentar encontrar uma solução na forma  $$ y(x)  = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m (x-a)^{m+r} } $$ em que r é uma constante a ser determinada.

Pontos Singulares Regulares e Irregulares

Pontos singulares são classificados como regulares e irregulares. Para definir esse conceito, colocamos a equação (1) na forma $$ y” + P(x) y’ + Q(x) y = 0.$$

DEFINIÇÃO (Pontos Singulares Regulares e Irregulares): Dizemos que um ponto singular x = x_0 da equação (1) é um ponto singular regular (ou singularidade regular) se (x - x_0)P(x) e (x-x_0 ) ^2 Q(x) são analíticas em x_0 . Um ponto singular que não é regular é chamado de ponto singular irregular (ou singularidade irregular) da equação.

EXEMPLO: Os ponto x = -2 e x = 2 são singulares da equação $$(x^2-4)^2 y” + (x-2)y’ + y = 0 .$$ Dividindo a equação por (x^2-4) = (x-2)^2 (x+2)^2, encontramos $$ P(x) = \frac{1}{(x-2) (x+2)^2} \qquad Q(x) = \frac{1}{(x-2)^2 (x+2)^2} .$$ Agora testamos P(x) e Q(x) em cada ponto singular. Usando a definição podemos concluir que x = -2 é ponto singular irregular e x = 2 é uma singularidade regular.

O Método de Frobenius

Para resolver a equação (1) e torno de uma singularidade regular, empregamos um método baseado no Teorema de Frobenius. Embora a ideia básica deste método já aparecesse com Euler tempos antes, o matemático alemão Ferdinand Frobenius foi o primeiro a provar o resultado, publicado em 1878.

O Método de Frobenius consiste, baseado no teorema abaixo, em identificar uma singularidade regular x_0 , substituir y(x)  = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m ( x - x_0 )^{m + r} }   na equação diferencial e determinar o expoente r e os coeficientes c_n .

TEOREMA DE FROBENIUS: Se x = x_0 for um ponto singular da equação (1), então existe pelo menos uma solução em série na forma $$ y(x)  = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m ( x – x_0 )^{m} } = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m ( x – x_0 )^{m + r} }, \tag{2.1}$$ em que o número r é uma constante a ser determinada. A série convergirá pelo menos em algum intervalo 0 < x - x_0 < R .

APLICANDO O MÉTODO DE FROBENIUS E AS EQUAÇÕES INDICIAIS

Para ilustrar o Método de Frobenius, iremos trabalhar com a equação $$ x^2 y” + x a(x) y’ + b(x) y = 0 \tag{3} $$ onde a (x) e b (x) são analíticas em x =0 .

Primeiramente expandiremos os coeficientes a (x) e b (x)   em séries de potências, $$ a(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + …  \qquad \text{e} \qquad b(x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + … \; .$$ Agora, derivando y(x)  = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m x^{m + r} } obtemos \begin{eqnarray} y'(x) & = & \sum_{m=0}^{\infty}{(m + r) c_m x^{m + r -1} } = x^{r-1} \left[ r c_0 + (r+1)c_1 x + … \right] \\ y”(x) & = & \sum_{m=0}^{\infty}{(m + r) (m + r-1) c_m x^{m + r -2} } = x^{r-2} \left[  r(r-1)c_0+ (r+1)r c_1  x + … \right] \end{eqnarray}

Inserindo estas séries na equação nós imediatamente obtemos $$ x^r \left[ r(r-1)c_0+… \right] + (a_0 +a_1 x+…)x^r (r c_0 + … ) + \\ (b_0 + b_1 x +…)x^r (c_0 + c_1 x + … ) = 0.$$ Agora, nós igualamos a soma dos coeficientes  de cada potencia de x a zero, como antes. Isto leva a um sistema de equações envolvendo os coeficientes desconhecidos c_m . A menor potência é x^r , e a equação correspondente é $$ \left[ r (r-1) + a_0 r +b_0 \right]c_0 = 0 .$$ Desta forma assumindo c_0 \neq 0 obtemos $$r^2 + (a_0 -1 ) r + b_0 = 0 .$$

Esta importante equação quadrática é chamada de equação indicial da equação diferencial (3). Devemos observar que este método levará a um sistema fundamental de soluções; uma destas soluções sempre serão na forma y(x)  = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m x^{m + r} }.

No caso geral, da equação (1), as soluções da equação indicial na forma (2.1) corresponderão aos seguintes casos:

1. As raízes da equação indicial são distintas (complexas ou reais) e não diferem por um inteiro: neste caso, suponha que r_1 e r_2 são estas raízes, então $$ y_1 = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m x^{m + r_1} }, \qquad c_0 \neq 0, $$ $$ y_2 = \sum_{m=0}^{\infty}{b_m x^{m + r_2} }, \qquad b_0 \neq 0. $$
2. A equação indicial tem raiz real de multiplicidade 2: Se r_1 = r_2 , há sempre duas soluções linearmente independentes para a equação (1) na forma $$ y_1 = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m x^{m + r_1} }, \qquad c_0 \neq 0, $$ $$ y_2 = y_1(x) \ln{(x)} + \sum_{m=0}^{\infty}{b_m x^{m + r_2} }, \qquad b_0 \neq 0.$$
3. As raízes da equação indicial diferem por um número inteiro: Neste caso, podemos ou não ser capazes de encontrar duas soluções para a equação diferencial (1) na forma (2.1). Se não, então uma solução correspondente à menor raiz contém um termo logarítmico. Se r_1 - r_2 = N , em que N é um inteiro positivo, então existem duas soluções linearmente independentes para a equação (1) na forma $$ y_1 = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m x^{m + r_1} }, \qquad c_0 \neq 0, $$ $$ y_2 = C y_1(x) \ln{(x)} + \sum_{m=0}^{\infty}{b_m x^{m + r_2} }, \qquad b_0 \neq 0,$$ em que C é uma constante que pode ser zero.

EXEMPLOS DO MÉTODO DE FROBENIUS

EXEMPLO 1 (A Equação de Euler-Cauchy): Nós vimos no artigo da Equação de Euler-Cauchy $$x^2 y” +a_0 x y’ + b_0 y = 0, \qquad a_0 , b_0 \in \mathbb{R} $$ pode ser resolvida substituindo y = x^r na equação. Isto nos levará à equação auxiliar $$r^2 +(a_9 -1)r +b_0 = 0.$$ Obviamente, esta é a equação indicial.

Se as raízes desta equação são r_1 \neq r_2 , então obtemos $$y_1 = x^{r_1} \qquad y_2 = x^{r_2}$$ como um sistema fundamental de soluções. Isto corresponde aos casos 1 e 3 da seção anterior. Por outro lado, se r = r_1 = r_2 então as soluções $$ y_1 (x) = x^r, \qquad y_2 (x) = y_1 (x) \ln{(x)} = x^r \ln{(x)} $$ formam um sistema fundamental, como segue na solução clássica das equação Euler-Cauchy.

EXEMPLO: Como x = 0 é uma singularidade regular da equação diferencial $$ 3xy” +y’ – y =0,$$ tentamos uma solução na forma $$ y = \sum_{n=0}^{\infty}{c_n  x ^n} $$ e substituindo na equação após calcular as derivadas, encontramos $$ 3xy” +y’ – y = 3 \sum_{n=0}^{\infty}{(n + r) (n + r-1) c_n x^{n + r -1} } + \\ + \sum_{n=0}^{\infty}{(n + r) c_n x^{n + r -1} } – \sum_{n=0}^{\infty}{ c_n x^{n + r} } =$$ $$ = \sum_{n=0}^{\infty}{(n + r) (3n+3r-2) c_n x^{n + r -1} } – \sum_{n=0}^{\infty}{ c_n x^{n + r} } =$$ $$ = x^r \left[ r(3r-2)c_0 x^{-1}  + \sum_{n=1}^{\infty}{(n + r) (3n+3r-2) c_n x^{n -1} } – \sum_{n=0}^{\infty}{ c_n x^{n} } \right]$$ e fazendo k = n-1 na primeira série e k = n na segunda, chegamos a $$ = x^r \left[ r(3r-2)c_0 x^{-1}  + \sum_{n=1}^{\infty}{[(k + r +1) (3k+3r-2) c_{k+1} x^{n -1} }- c_k ]x^k  \right] = 0$$ o que implica que $$ r (3r-2)c_0 = 0 $$ $$ (k+r+1)(3k+3r+1)c_{k+1} – c_k = 0, \qquad k =0,1,2, …. $$

Como não temos resultados fazendo c_0 = 0 , devemos então ter $$r(3r-2) = 0$$ e $$ c_{k+1} = \frac{c_k}{(k+r+1)(3k+3r+1)}, \qquad k =0,1,2, …. $$ Os dois valores de r que satisfazem a primeira equação são $$ r_1= \frac{2}{3} \qquad r_2 = 0, $$ quando substituídos na relação recorrência para c_{k+1} encontramos duas relações de recorrência: $$ r_1 = \frac{2}{3}, c_{k+1} = \frac{c_k}{(3k+5)(k+1)} \qquad k =0,1,2, …. $$ e $$ r_2 = 0, c_{k+1} = \frac{c_k}{(k+1)(3k+1)} \qquad k =0,1,2, …. $$

Por iteração sucessiva de ambas as fórmulas encontramos, respectivamente, $$c_n = \frac{c_0}{n! 5 \times 8 \times 11 \times …. \times (3n+2)} \qquad n = 1,2, …. $$ $$c_n = \frac{c_0}{n! 1 \times 4 \times 7 \times 10 \times …. \times (3n+2)} \qquad n = 1,2, …. $$ e, portanto, obtemos duas soluções em série $$ y_1 = c_0 x^{2/3} \left[ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n! 5 \times 8 \times 11 \times …. \times (3n+2)} x^n \right] $$ e $$ y_2 = c_0 x^{0} \left[ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n! 1 \times 4 \times 7 \times 10 \times …. \times (3n+2)} x^n \right] .$$

Pelo teste da razão, pode ser demonstrado que estas duas séries convergem para todos os valores de x e como ambas são funções linearmente independentes, logo, pelo princípio da superposição encontramos a solução $$y(x) = c_1 x^{2/3} \left[ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n! 5 \times 8 \times 11 \times …. \times (3n+2)} x^n \right] + \\ +c_2 \left[ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n! 1 \times 4 \times 7 \times 10 \times …. \times (3n+2)} x^n \right].$$

EXEMPLO: Vamos resolver $$ x(x-1)y” + (3x-1)y’ +y = 0.$$ Escrevendo esta equação na forma canônica do teorema 1, nós observamos que ela satisfaz as condições deste teorema. Inserindo uma solução na forma (3) e suas derivadas na equação que queremos resolver nós temos $$ \sum_{m=0}^{\infty}{(m + r) (m + r-1) c_m x^{m + r } } – \sum_{m=0}^{\infty}{(m + r) (m + r-1) c_m x^{m + r -1} } + \\ + 3 \sum_{m=0}^{\infty}{(m + r)  c_m x^{m + r } } – \sum_{m=0}^{\infty}{(m + r)  c_m x^{m + r -1} } + \sum_{m=0}^{\infty}{ c_m x^{m + r} } = 0. \tag{4}$$

A menor potência é x^{r-1} ; Ao igualar a soma dos coeficientes a zero nós encontramos que $$ \left[ -r (r-1)-r \right] c_0 \qquad \text{ou} r^2 = 0.$$ Uma vez que a equação indicial tem a raiz dupla r = 0 . Nós inserimos este valor na equação (4) e igualando a soma dos coeficientes da potência x^s a zero, encontramos  $$ s(s-1)s_s – (s+1)s c_{s+1} + 3 sc_s – (s+1)c_{s+1} +c_s = 0$$ ou $$c_{s+1} = c_{s}.$$ Desde que $$c_0 = c_1 = c_2 = … , $$ e escolhendo c_0 = 1 obtemos $$y_1 (x) =  \sum_{m=0}^{\infty}{ x^{m} } = \frac{1}{1-x}.$$

Para encontrar uma segunda solução nos substituímos y_2 = u y_1 na equação que estamos resolvendo, encontramos $$ x(x-1)(u” y_1 +2u’ y’_1 +u y_1 ”) + (3x -1)(u’y_1 +u y_1′) + u y_1 = 0.$$ Desde que y_1 é uma solução da nossa equação, ela se reduz a $$ x(x-1)(u” y_1 +2u’ y_1) + (3x-1)u’ y_1 = 0.$$ Inserindo as expressões para y_1 e y_1 ' e simplificando obtemos $$xu” + u’ = 0 \qquad \text{ou} \qquad \frac{u”}{u’} = – \frac{1}{x} .$$ Por integração sucessiva finalmente encontramos u = \ln{(x)} e uma segunda solução é $$ y_2 = u y_1 = \frac{\ln{(x)} }{1-x} .$$

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