Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 9ª Lista de Exercícios

1) Solucione os problemas de valor inicial (P.V.I.) abaixo:

a) y'' + 9y = 0 com y(0) = 0 e y'(0) = 2;

SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace encontramos $$s^2 Y – 2 + 9 Y = 0$$ e isolando a variável Y(s) encontramos $$Y(s) = \frac{2}{s^2 +9} = \frac{2}{3} \frac{3}{s^2 +9}.$$ Usando a tabela e aplicando a transformada inversa $$ y(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left( Y(s) \right) = \frac{2}{3} \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{3}{s^2 +9} \right) = \frac{2}{3} \text{sen}(3t) .$$

b) y'' + 2y' + 5y = 0 com y(0) = 2 e y'(0) = -4;

SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace na equação encontramos $$s^2 Y – 2s +4 +2 (sY-2) + 5Y = 0$$ cuja solução algébrica é dada por $$Y(s) = \frac{2s}{(s+1)^2 + 2^2} = 2 \frac{s+1}{(s+1)^2 + 2^2} – \frac{2}{(s+1)^2 + 2^2}.$$ Agora, aplicando a Transformada inversa encontramos $$ y(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left( Y(s) \right) = 2 \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{s+1}{(s+1)^2 + 2^2} \right) – \\ -\mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{2}{(s+1)^2 + 2^2} \right) =  e^{-t} \left( 2 \text{cos} (2t) – \text{sen} (2t) \right) .$$

c) y'' - 3 y' +2y = 4t + e^{3t} com y(0) = 1 e y'(0) = -1;

SOLUÇÃO: Aplicando a Transformada de Laplace à equação e isolando o termo Y(s), encontramos $$ Y(s) = \frac{s^4-7s^3+13s^2+4s-12}{s^2 (s-3)(s^2-3s+2)}.$$ Usando frações parciais podemos escrever $$ \frac{s^4-7s^3+13s^2+4s-12}{s^2 (s-3)(s^2-3s+2)} = \frac{2}{s^2}+ \frac{3}{s}+\frac{1/2}{s-3}-\frac{2}{s-2} -\frac{1/2}{s-1}$$ e usando a tabela de transformada de Laplace inversa encontramos $$f(t) = 2t+3+\frac{1}{2} e^{3t} – 2 e^{2t} – \frac{1}{2}e^t.$$

d) y'' + 3y' +2 y = R(t) com y(0) = 0 , y'(0) = 0; r(t) = 1 quando 0<t<1 e r(t)=0 para os demais valores de t;

SOLUÇÃO: Escrevendo a função R(t) em termos da função degrau: $$R(t) = 1 – u(t-1).$$ Aplicando a Transformada de Laplace na equação e isolando o termo Y(s) encontramos $$Y(s) = \frac{1 – e^{-s}}{s(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s(s+1)(s+2)} – e^{-s} \frac{1}{s(s+1)(s+2)}.$$

Agora precisamos encontrar $$ \mathscr{L} ^{-1} \left( F(s) \right)  = \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{s(s+1)(s+2)} \right)$$ para usar o teorema da Translação e resolver o PVI. Usando frações parciais, encontramos $$ f(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left( F(s) \right) = \frac{1}{2}-e^{-t}+ \frac{1}{2}e^{2t}.$$

Portanto, $$y(t) = \frac{1}{2}-e^{-t}+ \frac{1}{2}e^{2t} – \left[ \frac{1}{2}-e^{-(t-1)}+ \frac{1}{2}e^{2(t-1)} \right] u(t-1)$$

e) y'' + 4y = sen(t) u(t - \pi) com y(0) = 1 e y'(0) = 0;

SOLUÇÃO: Para aplicar a transformada de Laplace na equação precisamos usar a propriedade trigonométrica \text{sen}(t) = \text{sen}(t - \pi ) para aplicar o teorema da Translação. Aplicando a transformada da equação $$y” + 4y = sen(t – \pi) u(t – \pi) $$ e isolando Y(s) encontramos $$ Y(s) = -e^{\pi s} \frac{1}{(s^2 +1) (s^2+4)} – \frac{2}{s^2+4}.$$ Usando frações parciais encontramos $$ Y(s) = -e^{\pi s} \left( \frac{1}{3} \frac{1}{(s^2 +1)} – \frac{1}{6} \frac{2}{ (s^2+4)} \right) – \frac{2}{s^2+4}.$$ Aplicando a transformada inversa encontramos $$y(t) = \frac{1}{3} \text{sen}(t – \pi) u(t – \pi)- \frac{1}{6}\text{sen}(2[t – \pi]) u(t – \pi) – \text{cos}(2t).$$

f) y''' - 3 y'' + 3 y' - y = 0 com y(0) = 1 , y'(0) = -1 e y''(0) = -1.

SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace na equação obtemos a equação algébrica $$s^3 Y -s^2 +s +1 – 3 (s^2 Y-s+1) + 3 (sY-1) – Y = 0$$ que nos leva à solução $$Y(s) = \frac{s^2-4s+5}{(s-1)^3} = \frac{2}{(s-1)^3}- \frac{2}{(s-1)^2} + \frac{1}{s-1}$$ usando frações parciais. Aplicando a Transformada de Laplace Inversa e usando a tabela dada neste artigo encontramos como solução do PVI $$y(t) = (t-1)^2 e^{t}$$.

2) (Oscilações Forçadas) Resolva o problema de valor inicial y'' + k y = F_0 sen{(p t)} onde y(0) = y'(0) = 0 e p^2 \neq \dfrac{k}{m}. Este problema governa as oscilações forçadas de uma corpo com massa m presa na extremidade inferior de uma mola elástica fixa pela extremidade superior.

SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace na equação y'' + k y = F_0 sen{(p t)} encontramos a equação algébrica $$s^2 Y + k Y = F_0 \frac{p}{s^2 + p^2} $$ que nos leva a $$Y(s) = F_0 \frac{p}{s^2 + p^2} \frac{1}{s^2 + k} $$. Usando a convolução podemos encontrar que $$y(t) = F_0 \text{sen}(p t) \ast \text{sen}(\sqrt{k} \; t) = \frac{F_0 }{{p}^{2} – k} \left( p\,\mathrm{sin}\left( \sqrt{k}\,t\right) -\sqrt{k}\,\mathrm{sin}\left( p\,t\right) \right)$$

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