EDO’s Lineares de 2ª Ordem sem o termo y(t) | Método de Solução

Nesse artigo queremos apresentar um método de solução para EDO’s Lineares de 2ª Ordem sem o termo y(t) . Ou seja, queremos resolver equações na forma  y'' +b(t)y'= f(t).

Claro que as técnicas de solução de EDOs lineares de 2ª Ordem podem ser aplicadas neste caso, como o Método dos Coeficientes Indeterminados ou o Método da Variação dos Parâmetros para determinar a solução particular que será somada à solução da equação homogênea associada para formarmos a solução geral deste tipo de EDO.

Porém, é possível, também transformar estas equações na forma y'' +b(t)y'= f(t) em EDOs de primeira ordem e, com isso, resolver problemas mais complicados do que nossa teoria para EDO’s de 2ª ordem permite.

Transformando uma EDO de 2ª Ordem numa EDO de 1ª Ordem: Equações sem o termo y(t)

Dada uma equação na forma y'' + p(t)y'=f(t), fazemos x(t) = y'(t). Daí, nossa equação de reduz a x' + p(t)x=f(t), ou seja, temos uma EDO de primeira ordem que já temos técnicas para solucionar.

EXEMPLO: Encontre a solução da EDO t^2y''+2ty'-1 = 0.

Faça u(t) = y'(t).

Daí, t^2y''+2ty'-1 = t^2 u' + 2t u -1 = 0 \Rightarrow u' + \dfrac{2}{t} u = 1, uma EDO de primeira ordem que tem solução dada por u(t) = \dfrac{t+c_1}{t^2}.

Ou seja, y(t) = \int{\dfrac{t+c_1}{t^2}}dt = \ln{t} - c_1 t^{-1} + c_2.

Perceba que você poderia ter utilizado a técnica da solução das Equações de Euler-Cauchy junto ao Método da Variação dos Parâmetros para obter um solução geral equivalente a esta.

Exercícios Resolvidos – EDO’s Lineares de 2ª Ordem sem o termo y(t)

1) Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem:

a) y'' - 3\tg{(x)}y' = 0

SOLUÇÃO: Observe que neste caso não temos o termo c(x)y(x) , desta forma, podemos fazer a substituição u = y' , o que nos leva à EDO linear de primeira ordem $$u’ -3 tg(x) u = 0 ,$$ que tem solução dada por $$u(x) = c_1 sec^3 (x).$$

Portanto, $$y(x) = \int{c_1 sec^3 (x) dx} = c_1 \left[ \frac{1}{4} \ln{\left( \frac{sen(x) +1 }{sen(x) – 1 } \right)} + \frac{1}{2} tg(x)sec(x) \right] + c_2 .$$

b) y'' - 2 y' = e^x sen(x)

SOLUÇÃO: Fazendo u = y’ encontramos $$ u’ -2 u = e^x sen(x)$$ que é uma EDO linear de primeira ordem cujo método de solução nos leva a $$\left( e^{-2x} u \right) = e^{-x} sen(x) \Leftrightarrow u(x) =-\frac{{e}^{x}\,\mathrm{sen}\left( x\right) +{e}^{x}\,\mathrm{cos}\left( x\right) -2\,c\,{e}^{2\,x}}{2} .$$

Logo, $$y(x) = \int{u(x)dx} = \int{-\frac{{e}^{x}\,\mathrm{sen}\left( x\right) +{e}^{x}\,\mathrm{cos}\left( x\right) -2\,c\,{e}^{2\,x}}{2}dx}$$

Portanto $$y(x) = \frac{c\,{e}^{2\,x}}{2}-\frac{{e}^{x}\,\mathrm{sen}\left( x\right) }{2} + c_2 =c_1 {e}^{2\,x} + c_2 -\frac{{e}^{x}\,\mathrm{sen}\left( x\right) }{2}$$

OUTROS MÉTODOS DE SOLUÇÃO: A solução da equação homogênea associada, y'' - 2 y' = 0 possui solução dada por $$y_h (x) = c_1 + c_2 e^{2x} . $$ Agora podemos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar uma solução particular da equação não-homogênea, fazendo $$y_p (x) = A e^x sen(x) + Be^x cos(x), $$ donde, substituindo na equação e resolvendo o sistema, encontramos A = - 1/2 e B = 0 . Portanto, $$y(x) = c_1 + c_2 e^{2x} – \frac{1}{2}e^x sen(x) . $$

Podemos, também usar o Método da Variação dos Parâmetros para encontrar y_p (x) . Observando que um C.F.S. da equação homogênea associada é \{ 1, e^{2x} \} , calculamos W \left( 1, e^{2x} \right) = 2 e^{2x} . Assim: $$y_p (x) = – \int{\frac{e^{2x} e^x sen(x)}{2 e^{2x}} dx} + e^{2x} \int{\frac{e^x sen(x)}{2 e^{2x}} dx} $$ $$y_p (x) = – \int{e^x sen(x) dx} + e^{2x} \int{e^{-x} sen(x) dx} $$ $$y_p (x) = – \frac{{e}^{x}\,\mathrm{sen}\left( x\right) }{2}$$ O que nos levaria a $$ y(x) = c_1 + c_2 e^{2x} -\frac{{e}^{x}\,\mathrm{sen}\left( x\right) }{2} $$

c) y'' + 3y' = 4x - 5;

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' + 3y' =0 e sua solução é dada por $$y_{h}{x} = c_1 + c_2 e^{-3x}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(x) = Ax^2 + Bx , pois a equação não possui o termo c y e substituindo na EDO encontramos: A = 1/3 e  B = - 5/3 . Logo y_{p}(x) = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{3} x . Portanto, a solução geral desta equação será dada pop $$ y(x) = c_1 + c_2 e^{-3x}+ \frac{1}{3} x^2 – \frac{5}{3} x.$$

OBSERVAÇÃO: Esta EDO poderia ser resolvida também usando a mudança de variável y' = u que a transformará na EDO linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método adequado para este tipo de equação. Assim que encontrar a solução u(x) basta calcular y(x) = \int{u(x)dx} que você obterá a mesma solução que achamos pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.

d) y'' + 8y' = e^{5x} ;

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' + 8y'=0 e sua solução é dada por $$y_{h}{x} = c_1 + c_2 e^{-8x}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(x) = Ae^{5x} e substituindo na EDO encontramos: A = 1/30. Logo y_{p}(x) = \dfrac{1}{30} e^{5x}. Portanto, a solução geral desta equação será dada por $$ y(x) = c_1 + c_2 e^{-8x} + \frac{1}{30} e^{5x}.$$

OBSERVAÇÃO: Esta EDO também poderia ser resolvida também usando a mudança de variável y' = u que a transformará na EDO linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método adequado para este tipo de equação. Assim que encontrar a solução u(x) basta calcular y(x) = \int{u(x)dx} que você obterá a mesma solução que achamos pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.

Um Exemplo de uma Equação Diferencial de 3ª Ordem.

Usando o método da Variação dos Parâmetros encontre uma solução para a E.D.O. de 3ª ordem $$y^{(3)} + y’ = cosec(x).$$

SOLUÇÃO: Observe que fazendo a substituição u = y' , obtemos a EDO de segunda ordem $$u” + u = cosec(x) $$ que tem como solução da equação homogênea associada u_h (x) = c_1 cos(x) + c_2 sen(x) , cujas funções u_1 (x) = cos(x) e u_2 (x) = sen(x) formam um CFS com W (u_1 , u_2 ) = 1. Usando o método da variação dos parâmetros encontramos $$ u_p(x) = – cos(x) \int{ sen(x) cosec(x) dx } + sen(x) \int{ cos(x) cosec(x) dx } = \\ = – cos(x) \int{ dx } + sen(x) \int{ cotan(x) dx } = -x cos(x) + sen(x) ln[sen(x)].$$ Ou seja, $$u(x) = c_1 cos(x) + c_2 sen(x) -x cos(x) + sen(x) ln[sen(x)] .$$

Portanto, $$y(x) = \int{\left( c_1 cos(x) + c_2 sen(x) -x cos(x) + sen(x) ln[sen(x)] \right) dx} = \\ c_1 sen(x) – c_2 cos(x) + c_3 – \int{x cos(x) dx}+ \int{sen(x) ln[sen(x)]  dx} = \\ = c_1 sen(x) – c_2 cos(x) + c_3 – \ln{\left( cosec(x) + cotg(x) \right)} – cos(x) \ln{(sen(x))} – x sen(x).$$

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