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A integração e a derivação das séries de Fourier podem ser justificadas com dois teoremas sobre convergência uniforme de séries infinitas de funções.
Entretanto, observamos que tais teoremas dão condições suficientes, que não são necessárias.
Os dois teoremas que serão enunciado logo abaixo resumem duas importantíssimas propriedades das séries uniformemente convergentes, ou seja, de séries que convergem independente do valor que x assuma no seu intervalo de convergência.
Há várias maneiras de provar a convergência uniforme de uma série, dentre eles está utilizar o poderosos teorema conhecido como Teste M de Weierstrass.
Não iremos entrar nos detalhes deste teorema neste artigo, mas ele pode ser facilmente encontrado em livros de Análise Real.
Como Calcular a Integral e a Derivada de uma Série de Fourier?
Para responder esta pergunta usamos os teorema abaixo:
TEOREMA 1:
Se cada termo de uma série infinita é contínuo em um intervalo (a,b) e se a série converge uniformemente para f(x) neste intervalo, então
1) f(x) também é contínua no intervalo
2) A série pode ser integrada termo a termo, isto é a integral da série será a série de integrais.
TEOREMA 2:
Se cada termo de uma série infinita é derivável, e se a série de derivadas é uniformemente convergente , então a série pode ser derivada termo a termo.
TEOREMA (Integração de uma Série de Fourier):
A série de Fourier correspondente a f(x) pode ser integrada termo a termo de um número real a até x , e a série resultante converge uniformemente para $$ \int \limits _{a}^{x}{f(u)du,}$$ desde que f(x) seja seccionalmente contínua em - L \leq x \leq L e que tanto a como x pertençam ao intervalo.
EXEMPLO: Vamos determinar uma Série de Fourier para a função $$f(x) = x^2; \;\;\; 0 < x < 2, $$ integrando a série de Fourier da função $$f(x) = x \;\;\; 0 < x < 2.$$
É um exercício relativamente simples mostrar que podemos estender esta função como uma função ímpar de período 4 usando uma série de Fourier de senos dada por:
$$f(x) = \frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1} }{n} sen \left( \frac {n \pi x}{2} \right) } $$
Agora, integrando em ambos os membros de 0 a x e multiplicando por 2, encontramos $$x^2 = C + \frac{16}{\pi ^2} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} }{n^2} cos \left( \frac {n \pi x}{2} \right) } $$ onde encontramos C = \dfrac{16}{\pi ^2} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1} }{n^2} } fazendo x = 0, nesta igualdade.
Agora, vamos tentar calcular a série \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1} }{n^2} } .
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Observe que a constante C pode ser determinada de uma outra maneira, se notarmos que $$x^2 = C + \frac{16}{\pi ^2} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} }{n^2} cos \left( \frac {n \pi x}{2} \right) } $$ representa a série de Fourier de cossenos para x^2 em 0 < x < 2.
Como L = 2, neste caso, $$ C = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{L} \int \limits_{0}^{L}{f(x) dx} = \frac{1}{2} \int \limits_{0}^{2}{ x^2 dx} = \frac{4}{3}$$
Então, pelo valor de C que encontramos anteriormente, temos: $$ C = \frac{16}{\pi ^2} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1} }{n^2} } = \frac{4}{3},$$ logo, $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1} }{n^2} } = \frac{ \pi ^2}{16} \frac{4}{3} = \frac{ \pi ^2}{12}$$
Por fim, é possível mostra que não é valida a diferenciação termo a termo da série $$f(x) = \frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1} }{n} sen \left( \frac {n \pi x}{2} \right) }. $$
Neste caso, a diferenciação termo a termo dá $$ 2 \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1} }{n} cos \left( \frac {n \pi x}{2} \right) } \right).$$
Como o n-ésimo termo da série não tende a zero, a série na converge para nenhum valor de x .