A Função Beta | Definição, Propriedades e Exercícios Resolvidos

As funções beta são um tipo especial de função, também conhecido como integral de Euler de primeiro tipo. Muitas integrais podem ser calculadas em termos da função beta.

As funções beta são um tipo especial de função, também conhecido como integral de Euler de primeiro tipo. Geralmente é expresso como B(x, y) onde x e y são números reais maiores que 0. Também é uma função simétrica, como B(x, y) = B(y, x). Em matemática, existe um termo conhecido como funções especiais. Algumas funções existem como soluções de integrais ou equações diferenciais como são os casos da função gama, da função erro de Gauss e da própria função beta.

A função beta, denotada por B(m,n), foi estudada pela primeira vez pelos matemáticos Euler e Legendre, sendo definida por $$B(m,n) = \int_{0}^{1}{x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx} \tag{1}$$ e convergente para m>0, n>0 . Esta função beta está associada com a função gama como segue: $$B(m,n) = \frac{\Gamma (m) \Gamma (n)}{\Gamma (m+n)},$$ onde $$ \Gamma (x) = \int_{0}^{ \infty}{t^{x-1}e^{-t} dt}.$$

Em Física e abordagem de cordas, a função beta é usada para calcular e representar a amplitude de espalhamento para trajetórias de Regge. Além destes, você encontrará muitas aplicações em cálculo usando sua função gama relacionada. Isso porque muitas integrais podem ser calculadas em termos da função beta, por consequência em termos da função gama.

Propriedade Importantes da Função Beta:

1) B(p, q) = B(p, q+1) + B(p+1, q)

2)   B(p, q+1) = B(p, q). \dfrac{q}{(p+q)}

3)   B(p+1, q) = B(p, q). \dfrac{p}{(p+q)}

4) B (p, q). B (p+q, 1-q) =\dfrac{\pi}{p} sen (\pi q)

5) As integrais importantes das funções beta são:

$$ (B (p, q)= \int_{0}^{\infty }\frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}dt $$

$$ (B (p, q)= 2\int_{0}^{\pi /2 }sin^{2p-1}\theta cos^{2q-1}d\theta $$

Função Beta Incompleta

A forma generalizada da função beta é chamada de função beta incompleta. É dado pela relação: $$ B (z:a,b)= \int_{0}^{z} t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt$$ Também é denotado por B_z(a, b). B _z (a, b). Podemos notar que quando z = 1, a função beta incompleta se torna a função beta. Isto é, B(1: a, b) = B(a, b). A função beta incompleta tem muitas implementações em física, análise funcional, cálculo integral, etc.

A Distribuição Beta

A distribuição Beta é um tipo de distribuição de probabilidade, cuja função densidade de probabilidade esta intimamente ligada à função beta, e que representa todo o valor possível de probabilidade, sendo considerada como uma distribuição de probabilidade contínua definida por dois parâmetros positivos.

É um tipo de distribuição de probabilidade que é usado para representar os resultados ou comportamento aleatório de proporções ou porcentagem.

O uso mais comum dessa distribuição é modelar a incerteza sobre a probabilidade de sucesso de um experimento aleatório.

No gerenciamento de projetos, é utilizada uma técnica de três pontos chamada “distribuição beta”, que reconhece a incerteza na estimativa do tempo do projeto. Ele fornece ferramentas quantitativas poderosas juntamente com estatísticas básicas para calcular os níveis de confiança para o tempo de conclusão esperado.

Função Beta – Exercícios Resolvidos

1) Resolva \int_{0}^{1}{x^4 (1 -x)^3 dx}

SOLUÇÃO: $$\int_{0}^{1}{x^4 (1 -x)^3 dx} = B(5,4) = \frac{\Gamma (5) \Gamma (4)}{\Gamma (9)} = \frac{4! 3!}{8!} = \frac{1}{280}$$

2) Resolva \int_{0}^{2}{\frac{x^2}{\sqrt{2 - x}} dx}

SOLUÇÃO: Fazendo x =2v , a integral se escreve $$4 \sqrt{2} \int_{0}^{1}{\frac{v^2}{\sqrt{1-v}} dv} = 4 \sqrt{2} \int_{0}^{1}{v^2 (1-v)^{-1/2}  dv} = 4 \sqrt{2} B(3, 1/2) = \frac{64 \sqrt{2}}{15}$$

3) Resolva \int_{0}^{2}{y^4 \sqrt{a^2 - y^2}dx}

SOLUÇÃO: Fazendo y^2 = a^2 x ou y = a \sqrt{x} , a integral se escreve como $$\frac{a^6}{2} \int_{0}^{1}{x^{3/2} (1-x)^{1/2} dx} = \frac{a^6}{2} B(5/2 , 2/3) = \frac{\pi a^6}{32} $$

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