Resolvendo EDOs por Laplace | 12ª Lista de Exercícios Resolvidos

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Neste artigo temos mais 5 exercícios resolvidos sobre Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem solucionadas via Transformada de Laplace. Uma delas tem coeficientes variáveis!

12ª Lista de Exercícios Resolvidos de Solução de EDO's por Transformada de Laplace

 
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Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 12ª Lista de Exercícios

1) Resolva as E.D.O.’s abaixo usando a Transformada de Laplace:

a) y'' -6y'+9y = t, com y(0) = 0 e y'(0)=0.

SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s^2 Y – 6s Y +9Y = \frac{1}{s^2} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{1}{s^2 \left( s^2 – 6s +9\right)} .$$

Usando frações parciais, encontramos $$Y(s) = \frac{1}{s^2 \left( s^2 – 6s +9\right)} = \frac{2}{27\,s}+\frac{1}{9\,{s}^{2}}-\frac{2}{27\,\left( s-3\right) }+\frac{1}{9\,{\left( s-3\right) }^{2}}.$$

Daí, aplicando a transformada inversa de Laplace encontramos $$ y(t) = \frac{t\,{e}^{3\,t}}{9}-\frac{2\,{e}^{3\,t}}{27}+\frac{t}{9}+\frac{2}{27}$$

b) y''-5y'+6y = u(t-1), com y(0) = 0 e y'(0)=0;

SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s^2 Y – 5s Y +6Y = \frac{e^{-s}}{s^2} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{e^{-s} }{s \left( s^2 – 5s +6\right)} .$$

Usando frações parciais, encontramos $$Y(s) = e^{-s} \left\{ \frac{1}{6\,s}-\frac{1}{2\,\left( s-2\right) }+\frac{1}{3\,\left( s-3\right) } \right\},$$ logo, usando o Teorema da Translação e a Transformada Inversa de Laplace, encontramos $$y(t) = u(t-1) \left\{ \frac{{e}^{3\,(t-1)}}{3}-\frac{{e}^{2\,(t-1)}}{2}+\frac{1}{6} \right\} $$

c) y'' - 2y' = e^{t} \text{senh}(t), com y(0) = 0 e y'(0)=0;

SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s^2 Y – 2s Y = \frac{1}{(s-1)^2 -1} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{1 }{[(s-1)^2 -1] \left( s^2 – 2s \right)} .$$

Manipulando algebricamente e por frações parciais, encontramos: $$ Y(s) = \frac{1 }{[(s-1)^2 -1] \left( s^2 – 2s \right)} = \frac{1}{s^4 – 4s^3 +4s^2} = \frac{1}{s^2 \left( s-2 \right)^2 } = \\ = \frac{1}{4\,s}+\frac{1}{4\,{s}^{2}}-\frac{1}{4\,\left( s-2\right) }+\frac{1}{4\,{\left( s-2\right) }^{2}}.$$

Agora, aplicando a Transformada Inversa de Laplace encontramos $$ y(t) = \frac{t\,{e}^{2\,t}}{4}-\frac{{e}^{2\,t}}{4}+\frac{t}{4}+\frac{1}{4}.$$

2) Calcule a Transformada de Laplace Inversa de $$ F(s) = \frac{e^{-3s}}{s^2-2s-3}.$$

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SOLUÇÃO: Observe que $$ \frac{1}{s^2-2s-3} = \frac{1}{s^2-2s-4+1}= \frac{1}{(s-1)^2 – 2^2}.$$ Como $$  \frac{1}{s^2 – 2^2} = \mathscr{L} \left( \frac{1}{2} \text{senh}(2t) \right), $$ podemos concluir pela propriedade do deslocamento na frequência que  $$ \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{(s-1)^2 – 2^2} \right) = \frac{1}{2} e^{t} \text{senh}(2t) .$$ Consequentemente, pelo teorema da Translação, $$\mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{e^{-3s}}{(s-1)^2 – 2^2} \right) = \frac{1}{2} u(t-3)e^{t-3} \text{senh}(2(t-3)) .$$

3) Resolva a equação diferencial $$ty”+y’+ty = 0$$ usando a Transformada de Laplace e a propriedade da derivada da Transformada de Laplace.

SOLUÇÃO: Neste problema, usaremos a propriedade $$ \mathscr{L} \left(t y(t) \right) = – \frac{d}{ds}Y(s), \qquad Y(s) = \mathscr{L} \left( y(t) \right).$$

Usando as condições iniciais, obtemos $$ \mathscr{L} \left(t y”(t) \right) = – 2s Y(s) – s^2 \frac{d}{ds} Y(s)+1$$, o que nos leva, pela transformada de Laplace, à equação: $$-2sY – s^2 Y'(s)+1 +sY – 1 – Y’ = 0 \Leftrightarrow Y’ (1+s^2) +s Y = 0$$ que é EDO de primeira ordem elementar  cuja solução é dada por $$Y(s) = \frac{C}{\sqrt{1+s^2}},$$ onde C é uma constante de integração. Assim, $$y(t) = C \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1+s^2}} \right) $$ e usando nossa completíssima tabela de Transformada de Laplace obtemos $$y(t) = C \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1+s^2}} \right) = C J_0(t) $$ onde $$J_0(t)=1-\frac{t^2}{2^2(1!)^2}+\frac{t^4}{2^4(2!)^2}-\frac{t^6}{2^6(3!)^2}+\cdots = \sum\limits_{n =0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} t^{2n}}{2^{2n} (n!)^2} }.$$

Portanto, a solução da nossa equação será dada por $$y(t) = C \sum\limits_{n =0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} t^{2n}}{2^{2n} (n!)^2} }.$$

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