Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma quinta lista de exercícios resolvidos sobre o Método da Variação dos parâmetros para E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem. O método da variação dos parâmetros foi idealizado pelo matemático francês Lagrange e pode ser visto como uma continuidade do método dos coeficientes indeterminados. Este método nos dá uma solução particular da equação y''+ p(t)y'+q(t)y=g(t), uma vez que são conhecidas soluções da equação homogênea y''+ p(t)y'+q(t)y=0.

A idéia crucial é substituir as constantes c_1 e c_2 na equação y(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t) por funções u_1 (t) e u_2 (t). Assim, y(t) = u_1 (t) y_1(t) +u_2 (t) y_2(t). Agora, determinamos y' e y'' e substituímos ambos na equação não homogênea.

Assim, chegaremos a uma solução particular da EDO não-homogênea é dada por \psi(t) = -y_1(t) \int{\dfrac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\dfrac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt, e a solução geral será dada por y=c_1y_1(t) + c_2 y_2 (t)+\psi (t).

5ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre o Método da Variação dos Parâmetros:

1) Resolva a EDO y'' - \dfrac{2t}{1+t^2}y' + \dfrac{2}{1+t^2}y = 1+t^2.

Como a equação homogênea associada dessa EDO não tem coeficientes constantes deveremos encontrar duas soluções particulares suas que formem um CFS.

Para isso, vamos reescrever a Equação Homogênea Associada como $$y” – \frac{2t}{1+t^2}y’ + \frac{2}{1+t^2}y = 0 \Rightarrow (1+t^2) y” – 2ty’ + 2y = 0.$$

Desta forma, fatalmente as duas soluções particulares terão estruturas polinomiais e testando as formas $$y_{1}(t) = at + b; \;\;\;\;y{2}(t) = at^2 + bt +c$$ encontramos como duas soluções particulares $$y_{1}(t) = t; \;\;\;\;y{2}(t) = t^2 -1.$$

Obviamente, você pode encontrar outras soluções particulares que também formem um CFS como é o caso dessas duas, cujo Wronskiano é dado por $$W(y_1, y_2) = t^2 +1.$$

Assim, $$y(t) = c_1 t + c_2 (t^2 -1) + y_{p}$$.

Usando o Método da Variação dos Parâmetros encontramos$$y_{p}(t) = -t \int{(t^2 -1)dt} + (t^2 -1) \int{t dt} = -t \left( \frac{t^3}{3} -t \right) + (t^2 -1) \frac{t^2}{2}.$$

Portanto, $$y(t) = c_1 t + c_2 (t^2 -1) + -t \left( \frac{t^3}{3} -t \right) + (t^2 -1) \frac{t^2}{2}.$$

2. Obtenha uma solução geral para as EDOs abaixo:

a) y'' -2y'+ y = \dfrac{e^t}{1+t^2}

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada y'' -2y'+ y = 0 é dada por $$y_H (t) = c_1 e^t + c_2 t e ^t.$$

Nesse caso, y_1(t) = e^t e y_2 (t) = t e^t forma um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada, tendo W(y_1 , y_2 ) = e ^{2t} .

Logo, usando o Método da Variação dos Parâmetros encontramos $$y_p (t) = -e^t \int{\frac{t}{1+t^2}dt} + te^t \int{\frac{1}{1+t^2}dt} = -e^t \left( 2 \ln{1+t^2} \right) + te^t \left( arctg(t) \right).$$

Portanto, a solução da EDO é dada por $$y(t) = c_1 e^t + c_2 t e ^t – e^t \left( 2 \ln{1+t^2} \right) + te^t \left( arctg(t) \right).$$

b) (1-t)y''+ty'-y = 2(t-1)^2 e^{-t};\;\;\;sabendo\;\;\;que\;\;\;y_{1}(t) = t.

SOLUÇÃO: Sabemos que y_1 (t) = t e que y_H (t) = c_1 t + c_2 y_2 (t).

Podemos usar o método da redução de ordem para encontrar y_2(t) , mas usando o forçamento da EDO como inspiração, vou testar se e^{at} pode ser uma forma de solução.

Observe que  \left( e^{at} \right) ' = a e^{at} e \left( e^{at} \right)''= a^2 e^{at} .

Substituindo na EDO homogênea associada encontramos:

$$(1-t) a^2 e^{at} + a e^{at} t – e^{at} = e^{at} \left( [1-t]a^2 + at -1 \right) = 0.$$

Como e^{at} \neq 0, \forall t \in \mathbb{R} , então $$\left( [1-t]a^2 + at -1 \right) = 0$$ e isso acontece sempre que a=1 , independente do valor de t .

Logo, encontramos y_2 (t) = e^t .

Portanto, encontramos $$y_H (t) = c_1 t + c_2 e^t ,$$ pois W(t, e^t) = e^t (t-1) .

Agora, usando o Método da Variação dos Parâmetros determinaremos y_p (t) :

$$y_p (t) = -t \int{\frac{e^t 2 (t-1)^2 e^{-t}}{e^t (t-1)} dt} + e^t \int{\frac{2t (t-1)^2 e^{-t}}{e^t (t-1)} dt} = -3t^2 e^{-t}.$$

Portanto, $$y(t) = c_1 t + c_2 e^t- 3t^2 e^{-t}.$$

c) t^2y''+ty'-y = ln(t), t>0.

SOLUÇÃO: A EDO homogênea associada é do tipo Euler-Cauchy. Assim, a equação característica da EDO t^2y''+ty'-y = 0 é dada por r^2 -1 = 0 , o que nos dá a solução: $$y_H (t) = c_1 t + c_2 t^{-1} .$$ Portanto, y_1 (t) = t e y_2 (t) = t^{-1} e W(t, t^{-1}) = -2 t^{-1} .

Desta forma, usando o Método da Variação dos Parâmetros, encontramos $$y_p (t) = -\frac{t}{2} \int{\ln{t} dt} + t^{-1} \int{2 t^2 \ln{t} dt} = -\frac{t^2}{2} (\ln{t} -1) + \frac{2t^2}{3} \left( \ln{t} – \frac{1}{3} \right).$$

Portanto, $$ y(t) = c_1 t + c_2 t^{-1} -\frac{t^2}{2} (\ln{t} -1) + \frac{2t^2}{3} \left( \ln{t} – \frac{1}{3} \right).$$

Mais Listas de Exercícios Resolvidos Sobre a Variação dos Parâmetros:

• Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
  
• Método da Variação dos Parâmetros | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

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