Bem-vindos ao universo desafiador do Cálculo Diferencial e Integral II, um curso essencial para estudantes de Engenharia. Aqui, exploraremos funções de várias variáveis, integrais múltiplas, e mais, fundamentais para o entendimento e aplicação prática em diversos campos da engenharia. Este curso é uma jornada através de conceitos como domínio, imagem, derivadas parciais, e integrais de linha e superfície, todos essenciais para a modelagem e solução de problemas complexos. Prepare-se para desenvolver habilidades de raciocínio lógico, dedução e visão espacial, enquanto navegamos por este rico campo da matemática.
Ementa
Funções reais de várias variáveis reais, integrais múltiplas, integrais de linha e superfície.
Justificativa e Objetivo
Apresentar aos alunos o curso de Engenharia de Alimentos, ferramentas matemáticas necessárias para o bom entendimento de certos estudos, bem como desenvolver as habilidades de caráter lógico necessárias ao engenheiro.
Os objetivos são:
- Entender, organizar, comparar e aplicar as questões relevantes, os principais resultados ligados ao estudo de funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais de linha e superfície, estabelecendo juízos de valor a respeito dos métodos e processos empregados.
- Demonstrar capacidade de dedução, raciocínio lógico, visão espacial e de promover abstrações.
Leituras Importantes antes de começar:
- Os 5 Melhores Livros Para Estudar Cálculo Diferencial e Integral
- Equações Diferenciais: Os 5 Melhores Livros para Aprender Sozinho
- Os 7 Melhores Livros de Ficção Para Quem Ama Matemática
- Como Aprender Matemática Sozinho? As Melhores Técnicas de Estudo
- Tabela de Derivadas, Integrais e Fórmulas Trigonométricas Importantes no Cálculo
Conteúdo Programático
O conteúdo programático aborda o estudo das funções de várias variáveis, explorando conceitos como domínio, imagem e gráficos. Dominaremos as derivadas parciais, essenciais para entender a variação de funções multivariáveis, e o vetor gradiente, que nos guiará na direção de máxima taxa de mudança. A diferenciabilidade será nossa bússola para navegar pela suavidade e comportamento local das funções. Aprofundaremos em integrais múltiplas, ferramentas poderosas para calcular volumes e outras grandezas em espaços de dimensões superiores. E, claro, não podemos esquecer das integrais de linha e superfície, que nos permitirão somar valores ao longo de curvas e superfícies no espaço.
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Bem-vindos ao desafiador mundo do Cálculo Diferencial e Integral II!
1. Os Espaços Euclidianos R² e R³
1.1 Revisão sobre os Espaços Euclidianos R² e R³
1.2 Primeira Lista de Exercícios Resolvidos Sobre os Espaços Euclidianos R² e R³
1.3 Segunda Lista de Exercícios Resolvidos sobre os Espaços Euclidianos R² e R³
1.4 Terceira Lista de Exercícios Resolvidos sobre os Espaços Euclidianos R² e R³
2. Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais
2.1.1 1º Lista de Exercícios Resolvidos sobre Domínio, Imagem e Gráfico de Funções de Várias Variáveis
2.2 Curvas e Superfícies de Nível
2.2.1 Curvas e Superfícies de Nível | Lista de Exercícios Resolvidos
2.3 Limite
2.3.1 Limite de Funções de Várias Variáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.3.2 Limite de Funções de Várias Variáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4 Continuidade
2.4.1 Continuidade de Campos Escalares | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.5.1 1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Derivadas Parciais
2.5.2 2ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Derivadas Parciais
2.6 Vetor Gradiente
2.7.1 Diferenciabilidade | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.7.2 Diferenciabilidade | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.7.3 Diferenciabilidade | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.8.1 A Regra da Cadeia Para Campos Escalares | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.9 A Diferencial
2.9.1 A Diferencial | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.10 Plano Tangente e Reta Normal
2.10.1 Plano Tangente e Reta Normal | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.11 Derivada Direcional
2.11.1 Derivada Direcional | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.12 Derivadas Parciais de 2ª Ordem: Hessiano e Teorema de Schwartz
2.14 Máximos e Mínimos
2.14.1 Máximos e Mínimos | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.14.2 Máximos e Mínimos | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.14.3 Máximos e Mínimos | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.14.4 Máximos e Mínimos | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.15 Maximos e Mínimos: O Método dos Multiplicadores de Lagrange
2.15.1 – Multiplicadores de Lagrange – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.15.2 – Multiplicadores de Lagrange – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.15.3 – Multiplicadores de Lagrange – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
3. Integrais múltiplas
3.1 Integrais Duplas
3.2 Mudança de Variável em Integrais Duplas
3.3 Calculando Volume e Áreas Planas com Integrais Duplas
3.4 As Integrais Duplas Impróprias
3.5 Listas de Exercícios Resolvidos sobre Integral Dupla
3.5.1 Integrais Duplas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.5.2 Integrais Duplas | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.5.3 Integral Dupla | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos (Mudança de Variáveis)
3.6.1 Integrais Triplas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.7 Mudança de Variável em Integrais Triplas | Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
3.7.1 Mudança de Variável em Integrais Triplas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.8 Calculando Volume com Integrais Triplas
3.8.1 Volume com Integrais Triplas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4. Integrais de linha e superfície
4.1 Curvas no Espaço: Domínio e Imagem de Funções Vetoriais
4.2 Curvas no Espaço: Limite e Continuidade
4.3 Curvas no Espaço: Derivada
4.4 Curvas no Espaço: Integral
4.5 Curvas no Espaço | Parametrização, Comprimento de Arco e Deslocamento de Partícula
4.6 Curvas no Espaço | Parametrização de Curvas Clássicas
4.6.1 A Catenária
4.6.2 O Fólio De Descartes
4.7 Curvas no Espaço – Listas de Exercícios Resolvidos
4.7.1 Curvas no Espaço | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.7.2 Curvas no Espaço | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.7.3 Curvas no Espaço | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.7.4 Curvas no Espaço | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.7.5 Curvas no Espaço | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.7.6 Curvas no Espaço | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.7.7 Curvas no Espaço | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8 – Campos Vetoriais
4.8.1 Campos Vetoriais: Definição e Exemplos
4.8.5 Campo Vetorial | O que são as Curvas de Fluxo ou Curvas Integrais?
4.8.6 Rotacional de um Campo Vetorial | Definição e Interpretação Geométrica
4.8.7 O Divergente de um Campo Vetorial | Definição e Interpretação
4.8.8 Campos Vetoriais Conservativos e Potencial
4.8.9 Campo Radial de Quadrado Inverso | Campos Vetoriais
4.8.11 A Matriz Jacobiana e o Determinante Jacobiano
4.8.12 Campos Vetoriais: Listas de Exercícios Resolvidos
4.8.12.1 Campos Vetoriais | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.12.2 Campos Vetoriais | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.9 Integral de Linha de 1ª e 2ª Espécies | Teorema de Green no Plano
4.9.1 Integral de Linha de 1ª Espécie | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.9.2 Integral de Linha de Campos Vetoriais | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.9.3 O Teorema de Green No Plano | Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.4 Integral de Linha e Teorema de Green – Exercícios Resolvidos
4.9.5 Integral de Linha Independente do Caminho | Lista de Exercícios Resolvidos
4.10 Introdução às Superfícies: Parametrização, Suavidade e Cálculo de Área.
4.11 Integral de Superfície | Campos Escalares, Campos Vetoriais e Fluxos
4.12 Integral de Superfície | Teoremas de Stokes e da Divergência
4.12.1 Teoremas de Stokes e da Divergência | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.13 Cálculo de Área de Superfícies.
4.14 Listas de Exercícios Resolvidos Sobre Integrais de Superfícies
4.14.1 Integral de Superfícies | 1ª Lista de Execícios Resolvidos
4.14.2 Integral de Superfície | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
Bibliografia
Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.
- GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
- LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Harbra, 1994.
- SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica, vol 1 e 2. Rio de Janeiro: Makron Books, 1987.
- STEWART, J. Cálculo, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Pioneira – Thomson Learning, 2001.
- SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Makron Books, 1994.
- THOMAS, G B. Cálculo. São Paulo: Editora Pearson Education, 2002.
- MATOS, M.P. Séries e equações diferenciais. São Paulo: Makron Books, 2001.
- MORETTIN, P.A.; BUSSAB, W.O.; HAZZAN, S. Cálculo: funções de uma e de várias variáveis. São Paulo: Editora
- Saraiva, 2003.
- KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
- BATSCHELET, E. Introdução à Matemática para Biocientistas. São Paulo: Editora da USP, 1978.
- ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo 3 – Funções de Várias Variáveis. 5ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 1995.
