E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos.

Neste artigo queremos apresentar uma lista de exercícios resolvidos sobre equações diferenciais ordinárias (EDO) de segunda ordem lineares, que são dadas pela forma a_2(x) y'' + a_1 (x) y' + a_0 (x) y = g(x), onde a_2(x), a_1 (x) , a_0 (x) e g(x) são contínuas em um intervalo I e a_2 (x) \neq 0 para todo x neste mesmo intervalo.

Sob essas hipóteses, existe uma única solução para $$ a_2(x) y” + a_1 (x) y’ + a_0 (x) y = g(x), $$ que satisfaça a condição inicial $$ y(x_0) = y_0, \qquad y’ (x_0) = y’_0 ,$$ em que x_0 \in I . A técnica usada para resolver este tipo de equação consiste em encontrar a solução geral da equação homogênea associada a_2(x) y'' + a_1 (x) y' + a_0 (x) y = 0 e somá-la a uma solução particular da equação completa utilizando o método dos coeficientes indeterminados ou variação dos parâmetros, dependendo das condições.

2ª Lista de Exercícios de Resolvidos sobre Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 2ª Ordem

1) Solucione cada uma das Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:

a) y'' + 4y = 0;

SOLUÇÃO: Esta é uma equação homogênea com coeficientes constantes que tem como equação característica $$ \lambda ^2 + 4 = 0 $$ que tem duas raízes conjugadas complexas $$ \lambda _{1,2} = \pm 2i $$ o que nos dá a solução geral $$ y(t) = c_1 cos(2t) + c_2 sen(2t) .$$

b) xy'' - 2 (x+1)y' + (x+2) y = 0;

SOLUÇÃO: Neste caso temos um equação homogênea com coeficientes variáveis. Observe que a somo dos coeficientes é nula: $$ x- 2(x+1) + (x+2) = x -2x -2 + x +2 = 0.$$ Logo, se buscarmos uma função que tenha primeira e segunda derivadas iguais a si mesma obteremos uma solução particular da equação. Desta forma, considerando y_1 (x) = e^x encontramos uma solução particular desta equação. De fato: $$ x \left( e^x  \right) ” – 2 (x+1) \left( e^x  \right)’ + (x+2) \left( e^x  \right) = \\ = e^x \left[  x- 2(x+1) + (x+2) \right] = 0.$$

Agora, usaremos o Método da Redução de ordem para encontrar uma solução particular da equação, y_2 (x) , que forme um C.F.S. com y_1 (x) . Para isso precisamos reescrever a equação como $$ y” – 2 \frac{x+1}{x} y’ + \frac{x+2}{x} y = 0 $$. Assim, encontraremos usando o Método da Redução de Ordem, y_2(x) =e^x \int{u(x)}dx com u(x) = \frac{e^{-\int{ -2\frac{(x+1)}{x}}dx}}{e^{2x}}= \frac{e^{\int{2 \frac{(x+1)}{x}}dx}}{e^{2x}} = x^2 . Ou seja, y_2(x) =e^x \int{x^2}dx = \dfrac{x^3 e^x}{3} . Logo, a solução da equação homogênea associada xy''-(2x+1)y' + (x+1)y = 0, é dada por $$y_h (x) = c_1 e^x +c_2 x^3 e^x.$$

c) y''' - y'' = 6;

SOLUÇÃO: Neste caso, fazendo y'' = u encontramos a equação de primeira ordem $$u’ – u = 6 ,$$ que é solucionada usando o método adequado por $$  u’ – u = 6 \Leftrightarrow e^{-x} u’ – e^{-x} u = 6 e^{-x} \Leftrightarrow \left[ e^{-x} u \right]’ = 6 e^{-x} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow e^{-x} u = \int{6 e^{-x} dx} = – 6 e^{-x} \Leftrightarrow u =  – 6 e^{-x}e^{x}  + c_1 e^{x} = -6 + c_1 e^{x}.$$ Agora, observe que \begin{eqnarray} y’ & = & \int{u(x) dx}\\ & = & \int{\left(-6 + c_1 e^{x} \right) dx} \\ & = & -6x + c_1 e^{x} + c_2 .\\ y & = & \int{ \left( -6x + c_1 e^{x} + c_2 \right)dx } \\ & = & -3 x^2 + c_1 e^{x} + c_2 x + c_3 \end{eqnarray}

Portanto, $$y(x) = -3 x^2 + c_1 e^{x} + c_2 x + c_3 .$$

Uma observação importante é que podemos encontrar uma solução equivalente fazendo u = y' , obtendo a equação u'' - u' = 6 e usando o  método dos coeficientes indeterminados.

d) y'' - 9 y' +14 y = 32 x^2 - 5 sen(x)+7xe^{6x}

SOLUÇÃO: Primeiramente, vamos resolver a equação homogênea associada y'' - 9 y' +14 y = 0 . Usando a equação característica $$ \lambda ^2 – 9 \lambda + 14 = 0$$ que nos leva à solução $$y_H (x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{7x} .$$

Agora usaremos o método dos coeficientes indeterminados e o princípio da superposição para determinar uma solução particular da equação diferencial:

• correspondendo a 32 x^2 , escolhemos: y_{p1} = Ax^2 + Bx + C ;
• correspondendo a - 5 sen(x) , escolhemos: y_{p2} = D cos(x) + E sen(x);
• correspondendo a 7xe^{6x} , escolhemos: y_{p3} = (Fx + G) e^{6x} .;

Substituindo cada uma delas na equação diferencial, encontramos

• y_{p1} = \dfrac{16}{7} x^2 + \dfrac{144}{49} x + \dfrac{95}{49} ;
• y_{p2} = -\dfrac{9}{50} cos(x) -\dfrac{13}{50} sen(x);
• y_{p3} = \left( \dfrac{7}{4} x + \dfrac{21}{16} \right) e^{6x} .

Portanto, a solução geral da equação é dada por: $$ y(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{7x}  + \frac{16}{7} x^2 + \frac{144}{49} x + \frac{95}{49} -\frac{9}{50} cos(x) -\frac{13}{50} sen(x) + \left( \frac{7}{4} x + \frac{21}{16} \right) e^{6x}.$$

e) y'' + y = 2x - e^{3x} + cotg(x)

SOLUÇÃO: Para resolver esta equação iremos utilizar os métodos dos Coeficientes Indeterminados e da Variação dos Parâmetros junto ao princípio da superposição. Primeiramente, observamos que a equação homogênea associada y'' + y = 0 possui solução $$y_H (x) = c_1 cos(x) + c_2 sen(x), $$ cujas soluções particulares y_1 (x) = cos(x) e y_2 (x) = sen(x) formam um C.F.S. com Wronskiano dado por W (y_1 , y_2 ) = 1 .

Agora usaremos o método dos coeficientes indeterminados para determinar parte da particular da equação diferencial:

• correspondendo a 2x , escolhemos: y_{p1} = Ax B ;
• correspondendo a - e^{3x} , escolhemos: y_{p2} = C e^{3x} .

Substituindo cada uma delas na equação diferencial, encontramos

• y_{p1} = 2x ;
• y_{p2} = -\dfrac{1}{10} e^{3x} ;

Finalmente, correspondendo ao termo cotg(x) usaremos o método da variação dos parâmetros: $$y_{p3} = -cos(x) \int{cotg(x) sen(x) dx} + sen(x) \int{cotg(x) cos(x) dx} = \\ = -sen(x) cos(x) + sen(x) \left[ -\frac{\mathrm{ln}\left( \mathrm{cos}\left( x\right) +1\right) }{2}+\frac{\mathrm{ln}\left( \mathrm{cos}\left( x\right) -1\right) }{2}+\mathrm{cos}\left( x\right)  \right] = \\ = -\frac{\mathrm{ln}\left( \mathrm{cos}\left( x\right) +1\right) }{2}+\frac{\mathrm{ln}\left( \mathrm{cos}\left( x\right) -1\right) }{2}.$$

Portanto, a solução desta EDO é dada por $$y(x) = c_1 cos(x) + c_2 sen(x) +2x -\frac{1}{10} e^{3x} -\frac{\mathrm{ln}\left( \mathrm{cos}\left( x\right) +1\right) }{2}+\frac{\mathrm{ln}\left( \mathrm{cos}\left( x\right) -1\right) }{2}. $$

2) Mostre que o Problema de Valor Inicial $$ \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega ^2 x = F_0 cos(\gamma t)$$ $$x(0) = 0 $$ $$x'(0) = 0 $$ sendo \omega , F_0 , \gamma \in \mathbb{R} , possui solução dada por $$ x(t) = \frac{F_0}{\omega ^2 – \gamma ^2} \left( cos(\gamma t) – cos(\omega t) \right).$$ Em seguida, calcule $$ \lim_{\gamma \rightarrow \omega}{\frac{F_0}{\omega ^2 – \gamma ^2} \left( cos(\gamma t) – cos(\omega t) \right)} .$$

SOLUÇÃO: Observe que se $$ x(t) = \frac{F_0}{\omega ^2 – \gamma ^2} \left( cos(\gamma t) – cos(\omega t) \right),$$ então facilmente vemos que x(0) = 0 . Além disso, $$ x'(t) = \frac{F_0}{\omega ^2 – \gamma ^2} \left( -\gamma sen(\gamma t)  + \omega sen(\omega t) \right),$$ então facilmente vemos que x'(0) = 0 . Ou seja, esta solução satisfaz as condições iniciais. Além disso, podemos encontrar $$ x”(t) = \frac{F_0}{\omega ^2 – \gamma ^2} \left( – \gamma ^2 cos(\gamma t) + \omega ^2 cos(\omega t) \right),$$ e substituindo na EDO, podemos ver que ela satisfaz a equação.

Agora, $$ \lim_{\gamma \rightarrow \omega}{\frac{F_0}{\omega ^2 – \gamma ^2} \left( cos(\gamma t) – cos(\omega t) \right)} = F_0 \lim_{\gamma \rightarrow \omega}{\frac{tsen( \gamma t)}{ 2 \gamma }} = F_0 \frac{tsen( \omega t)}{ 2 \omega }.$$

Mais Listas de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 2ª Ordem

• Coeficientes Indeterminados | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Coeficientes Indeterminados | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Coeficientes Indeterminados | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos 
• Coeficientes Indeterminados | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
• E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos.

LEIA MAIS:

• Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem, Homogêneas, com Coeficientes Constantes
• VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS: EDOs de 2ª Ordem Linares
• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: Método dos Coeficientes Indeterminados
• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: O Princípio da Superposição
• Solucionando EDO’s por Transformada de Laplace | Exercícios Resolvidos

Assista Nossa Vídeo-Aula