Neste curso gratuito, trazemos aulas, artigos e exercícios resolvidos sobre elementos do cálculo diferencial para funções de várias variáveis, como limites, derivadas parciais, diferenciabilidade e máximos e mínimos.
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Aula 01 – O que são Funções de Várias Variáveis?
Uma função de várias variáveis reais a valores reais é uma função que associa cada ponto do espaço a um número real. Este tipo de função aparece em aplicações de diferentes áreas de conhecimento, como em circuitos elétricos, otimização de volumes e modelos econômicos.
Nesta aula queremos introduzir este tipo de função, através de conceitos básicos como domínio, imagem e gráfico.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
Aula 2: O que são Curvas e Superfícies de Nível?
Nesta aula queremos introduzir o conceito de curva de nível para funções de várias variáveis:
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
Aula 3: Calculando Limites de Funções de Várias Variáveis
Nesta aula queremos introduzir para funções de várias variáveis um dos princípios do Cálculo Diferencial: o limite!
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo destas listas de exercícios resolvidos abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
- Limite de Funções de Várias Variáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Limite de Funções de Várias Variáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
Abaixo você tem aulas de exercícios resolvidos sobre Limites de Funções de Várias Variáveis:
Aula 4: A Continuidade de Funções de Várias Variáveis
Nesta aula queremos introduzir para funções de várias variáveis um dos princípios do Cálculo Diferencial: a continuidade!
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercício resolvido abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
Aula 5: Como Calcular as Derivadas Parciais?
Nessa aula queremos estabelecer o conceito de Derivadas Parciais para as funções de várias variáveis, também, conhecidas como campos escalares.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercício resolvido abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
- 1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Derivadas Parciais
- 2ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Derivadas Parciais
Aula 6: O Vetor Gradiente
O Vetor Gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função de várias variáveis. O gradiente armazena todas as informações da derivada parcial de uma função multivariável. Porém, ele é mais do que um simples dispositivo de armazenamento: ele tem diversas interpretações maravilhosas e muitos usos que queremos discutir nesta aula sobre conceitos básicos e exemplos.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Aula 7: Diferenciabilidade – O que é uma função diferenciável?
Nessa aula queremos estabelecer o conceito de diferenciabilidade para as funções de várias variáveis, também, conhecidas como campos escalares.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo destas listas de exercícios resolvidos abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
- Diferenciabilidade | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Diferenciabilidade | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Diferenciabilidade | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
Abaixo você tem aulas de exercícios resolvidos sobre Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis:
Aula 8: A Regra da Cadeia Para Funções de Várias Variáveis
Nesta aula, através de teoria e exemplos, apresentamos a Regra da Cadeia para funções de Várias Variáveis.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo destas listas de exercícios resolvidos abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
Aula 9: A Diferencial
Nessa aula queremos estabelecer o conceito de diferencial para as funções de várias variáveis, também, conhecidas como campos escalares.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo destas listas de exercícios resolvidos abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
Abaixo você tem aulas de exercícios resolvidos sobre a Diferencial de Funções de Várias Variáveis:
Aula 10: Plano Tangente e Reta Normal
Nessa aula queremos estabelecer os conceitos de Plano Tangente e Reta Normal para as funções de várias variáveis, também, conhecidas como campos escalares.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo destas listas de exercícios resolvidos abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
Aula 11: A Derivada Direcional
Nesta aula, através de teoria e exemplos, apresentamos a Derivada Direcional e suas ligações com o Gradiente de uma função de várias variáveis.
Matematicamente, a derivada direcional é a taxa de variação de uma função num ponto específico e na direção de algum vetor unitário. Intuitivamente, a derivada direcional representa a taxa instantânea de variação de uma função diferenciável movendo-se através de um ponto A com velocidade dada pelo vetor v.
Como a derivada direcional também é uma derivada, ela pode determinar onde uma função está aumentando ou diminuindo em uma direção específica, o que mostrará se a equação está se movendo para cima ou para baixo.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo destas listas de exercícios resolvidos abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
Abaixo você tem aulas de exercícios resolvidos sobre a Derivada Direcional de Funções de Várias Variáveis:
Aula 12: O Teorema da Função Implícita
Nesta aula, através de teoria e exemplos, apresentamos as técnicas de diferenciação de Funções de Várias Variáveis Dadas Implicitamente e embasadas pelo Teorema das Funções Implícitas.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo destas listas de exercícios resolvidos abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
Aula 13: As Derivadas Parciais de 2ª Ordem e o Determinante Hessiano
Nessa aula queremos estabelecer o conceito de Derivadas Parciais de 2ª Ordem e o determinante Hessiano para as funções de várias variáveis. Ambos serão muito importantes para o cálculo de Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo (nele temos alguns exercícios resolvidos):
Aula 14: Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis
Aula sobre Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis e o Teorema de Weierstrass.
Um ponto máximo relativo é um ponto onde a função muda sua direção de crescente para decrescente (fazendo desse ponto um “pico” no gráfico). De modo similar, um ponto mínimo relativo é um ponto onde a função muda sua direção de decrescente para crescente (fazendo desse ponto um “vale” no gráfico).
Um ponto de sela é o ponto sobre uma superfície no qual a declividade é nula, mas não se trata de um extremo local. É o ponto sobre uma superfície na qual a elevação é máxima numa direção e mínima noutra direção. O nome vem da semelhança com uma sela de montaria das superfícies em torno de um ponto de sela.
Encontrar os valores máximos e mínimos de funções de várias variáveis e saber onde eles ocorrem é uma aplicação importante de calculo diferencial e integral de várias variáveis. Por exemplo, qual é a maior temperatura de uma chapa de metal aquecida e onde ela está localizada? Onde uma dada superfície atinge seu ponto mais alto sobre uma dada região no plano xy?
Além disso, falamos sobre o Teorema de Weierstrass nos diz que se f(x,y) for contínua num conjunto compacto então esta função assumirá um valor de máximo e de mínimo neste conjunto.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo destas listas de exercícios resolvidos abaixo.
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- Máximos e Mínimos | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Máximos e Mínimos | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Máximos e Mínimos | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Máximos e Mínimos | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
Abaixo você tem aulas de exercícios resolvidos sobre a Derivada Direcional de Funções de Várias Variáveis:
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Aula 15: Multiplicadores de Lagrange
Aula sobre Máximos e Mínimos Condicionados de Funções de Várias Variáveis usando os Multiplicadores de Lagrange. Nesta aula apresentamos problemas com 1 ou 2 restrições e 3 variáveis, que são temas comuns ao conteúdo das disciplinas de Cálculo 2.
O Método dos Multiplicadores de Lagrange é um elegante artifício usado para encontrar máximos e mínimos condicionados para os campos escalares, que são funções de várias variáveis a valores reais.
Em muitas aplicações o problema de achar os extremos de uma função apresenta-se sujeito a certas condições nas variáveis independentes, que são chamadas de vínculo e o problema correspondente é um problema de extremos condicionados. Razões de ordem prática justificam a procura de um novo método de resolver problemas de extremos condicionados.
Entretanto, também existem razões de ordem teórica que são as que melhor justificam o engenhoso Método dos Multiplicadores de Lagrange que queremos apresentar nesta aula.
Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:
Neste momento, sugiro o estudo destas listas de exercícios resolvidos abaixo.
Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:
- Multiplicadores de Lagrange – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Multiplicadores de Lagrange – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Multiplicadores de Lagrange – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
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Bibliografia do Curso:
Grande parte do conteúdo aqui apresentado é retirado de livros usados como livros-texto nos cursos de graduação e selecionado à partir das ementas destes mesmos cursos.
Sugestão de Artigo: Os 5 Melhores Livros Para Aprender Cálculo Sozinho
Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Harbra, 1994.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica, vol 1 e 2. Rio de Janeiro: Makron Books, 1987.
STEWART, J. Cálculo, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Pioneira – Thomson Learning, 2001.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Makron Books, 1994.
KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo 3 – Funções de Várias Variáveis. 5ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 1995.
Sobre o Professor:
Marcelo Lopes Vieira é mineiro, possui graduação em Licenciatura em Matemática (2008) e mestrado em matemática (2010) pela Universidade Federal de Uberlândia. Desde 2012 é professor assistente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia. Com interesse em Matemática Aplicada e Computacional principalmente nos temas relacionados a fenômenos não-lineares.
Atuou como professor orientador do Programa de Iniciação Científica Junior da OBMEP de 2013 à 2016. Também foi ministrante do Minicurso “A Matemática Financeira e o uso da HP-12C”, Grupo Ativa, Uberlândia (2008); Professor no Programa de perfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio, dentro do Projeto FNDCT/FINEP-PAPMEM em julho de 2009 e Janeiro de 2010.
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