E.D.O.’s Homogêneas de 2ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma 2ª lista de exercícios sobre as equações diferenciais ordinárias homogêneas de segunda ordem. Pra isso, precisamos encontrar y_1 e y_2 que sejam duas soluções da equação y'' + p(t) y' + q(t)y=0 e que formem um conjunto fundamental de soluções desta equação. Então a combinação linear y(t) = c_1 y_1 +c_2y_2 será a solução geral da equação homogênea, quaisquer que sejam os valores das constantes c_1 e c_2.

Para saber se esta solução y(t) é a solução geral de y'' + p(t) y' + q(t)y=0 precisamos que o determinante Wronskiano ou apenas wronskiano das soluções y_1 e y_2 que é dado por

seja diferente de zero para algum ponto do intervalo de continuidade dos coeficientes.

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1) Encontre um conjunto Fundamental de Soluções e dê a solução geral das EDOs homogêneas de segunda ordem:

a) 2 y'' - 5y' - 3y = 0 

SOLUÇÃO: Neste caso temos uma EDO de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes, com equação característica dada por $$ 2m^2- 5m – 3 = 0$$ que tem raízes dadas por $$m_1 = – \frac{1}{2}, \qquad m_2 = 3, $$ o que nos leva à solução $$y(x) = c_1 e^{-x/2} + c_2 e^{3x} . $$

b) y'' - 10 y' - 25y = 0 

SOLUÇÃO: Neste caso temos uma EDO de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes, com equação característica dada por $$ m^2- 10m – 25 = 0$$ que tem raízes iguais dadas por $$m_1 = m_2 = 5, $$ o que nos leva à solução $$y(x) = c_1 e^{5x} + c_2 xe^{5x} . $$

c) y'' + y' +y = 0 

SOLUÇÃO: Neste caso temos uma EDO de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes, com equação característica dada por $$ m^2 + m + 1 = 0$$ que tem raízes complexas conjugadas dadas por $$m_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}, $$ o que nos leva à solução $$y(x) = e^{-x/2} \left[ c_1 cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2},  \right) + c_2 sen \left( \frac{\sqrt{3}}{2},  \right)\right]. $$

d) x^2 y'' -6y = 0 

SOLUÇÃO: Neste caso temos uma EDO de 2ª ordem de Euler-Cauchy, com equação característica dada por $$ m^2 -m -6 = 0$$ que tem raízes dadas por $$m_1 = – 2, \qquad m_2 = 3, $$ o que nos leva à solução $$y(x) = c_1 x^3 + c_2 \frac{1}{x^2}. $$

e) x^2 y'' - 3xy' + 4y = 0 

SOLUÇÃO: Neste caso temos uma EDO de 2ª ordem de Euler-Cauchy, com equação característica dada por $$ m^2 -4m + 4 = 0$$ que tem raízes dadas por $$m_1 = m_2 = 2, $$ o que nos leva à solução $$y(x) = c_1 x^2 + c_2 x^2 \ln{(x)}. $$

f) (1-2x-x^2)y'' + 2(1+x)y' - 2y = 0

SOLUÇÃO: Esta equação é homogênea, porém não tem coeficientes contantes e não se encaixa como uma EDO de Euler-Cauchy.

Desta forma precisamos encontrar uma solução particular diferente da solução trivial y (x) = 0. Olhando para os coeficientes, tentaremos encontrar uma y_1 (x) polinomial.

Observe que se y_1 (x) = a, então, substituindo na equação, obtemos -2a = 0 , o que nos leva à solução trivial y_1 (x) = 0. Portanto, não existe uma solução particular, exceto a trivial, que seja constante.

Agora, tentando uma solução particular y_1 (x) como um polinômio de primeiro grau y_1 (x) = ax +b encontramos $$ (1-2x-x^2)y” + 2(1+x)y’ – 2y = 0 \Rightarrow (1-2x-x^2) \times 0 + 2(1+x)\times a – 2\times (ax+b) = 0 \Rightarrow a =b,$$ ou seja, para qualquer valor de a, y_1 (x) = ax +a é uma solução particular da equação.

Por uma questão de simplicidade escolheremos y_1 (x) = x +1 .

Agora, usando o Método da Redução de Ordem encontraremos y_2 (x).

Para isso, precisamos reescrever a equação como $$ y” + \frac{2(1+x)}{(1-2x-x^2)}y’ – \frac{2}{(1-2x-x^2)}y = 0, $$ sendo $$p(x) =  \frac{2(1+x)}{(1-2x-x^2)} .$$ Assim, y_2(x) = y_1(x) \int{u(x)}dx = (x+1) \int{u(x)}dx sendo $$ u(x) = \frac{e^{-\int p(x)dx}}{y_1^2(x)} = \frac{e^{-\int \frac{2(1+x)}{(1-2x-x^2)} dx}}{(x+1)^2} = $$ $$ = \frac{e^{\mathrm{log}\left( -{x}^{2}-2\,x+1\right) } }{(x+1)^2} = \frac{-{x}^{2}-2\,x+1}{(x+1)^2}$$

Ou seja, $$ y_2(x) = (x+1) \int{\frac{-{x}^{2}-2\,x+1}{(x+1)^2}}dx =  $$ $$ = (x+1) \left(-\frac{2}{x+1}-x \right) = -x^2-x-2.$$

Portanto, como o Método da Redução de Ordem nos dá uma segunda solução particular que forma um CFS da equação, podemos dizer que a solução geral da equação é dada por:

$$y(x) = c_1 y_1 (x) + c_2 y_2(x) = c_1 (x+1) – c_2 (x^2+ x+2).$$

g) x y'' - (2+x)y' = 0 

SOLUÇÃO: Neste caso, a equação na possui o termo y . Em todos estes tipos de equações o que fazemos é reduzir esta EDO de 2ª Ordem numa EDO de 1ª Ordem fazendo u = y' , o que nos dá a equação $$ x u’ – (2+x)u = 0. $$ Usando as técnicas de solução de EDOs lineares de 1ª Ordem encontramos $$u(x) = \frac{c_1}{x^2 e^x}.$$ Portanto, $$y(x) = c_1 \int{x^{-2} e^{-x} dx} + c_2 = c_1 e^{-x} \left( \frac{x^2 -1}{x} \right) +c_2 $$

2) Determine um Conjunto Fundamental de Soluções e uma solução geral de y'' + k^2 y = 0 , sendo k uma constante real.

SOLUÇÃO: Esta equação é encontrada frequentemente no estudo de matemática aplicada. Para esta primeira equação diferencial, a equação auxiliar m^2 + k^2 = 0 tem raízes m_1 = ki e m_2 = - ki . Segue-se que a solução geral neste caso é dado por $$y(x) = c_1 cos(kx) + c_2 sen(kx).$$

Portanto, um conjunto fundamental de soluções desta equação é dado por \{ cos(kx) , sen(kx) \} , pois facilmente verificamos que W \left( cos(kx) , sen(kx) \right) = k \neq 0 , \forall k \neq 0.

See k = 0 , então a equação se torna y'' = 0 cuja solução geral é dada por $$y(x) = c_1 x + c_2 $$, cujo C.F.S é dado por \{ x , 1 \} , pois facilmente verificamos que W \left( x , 1 \right) = -1 \neq 0 , \forall x \in \mathbb{R}.

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