Identidade de Parseval | Séries, Integrais e Transformadas de Fourier

Na análise matemática, a Identidade de Parseval, em homenagem a Marc-Antoine Parseval, é um resultado fundamental na soma da Série de Fourier de uma função.

Geometricamente, a Identidade de Parseval é uma forma generalizada para Espaços com Produtos Internos do Teorema de Pitágoras.

A Identidade de Parseval afirma que $$ \frac{1}{L} \int \limits_{-L}^{L}{\left[f(x) \right]^2 dx} = \frac{a_0^2}{2} + \sum\limits _{n=1}^{\infty}{\left( a_n ^2 + b_n ^2\right)}$$ se a_n e b_n são os coeficientes de Fourier correspondentes a f(x) e se f(x) satisfaz as condições de Dirichlet.

Uma Demonstração da Identidade de Parseval

Supondo que a série de Fourier correspondente a f(x) convirja uniformemente para f(x) em (-L, L) , queremos mostrar que $$ \frac{1}{L} \int \limits_{-L}^{L}{\left[f(x) \right]^2 dx} = \frac{a_0^2}{2} + \sum\limits _{n=1}^{\infty}{\left( a_n ^2 + b_n ^2\right)}$$ onde se supõe que exista a integral.

Se $$f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)}+b_n \sin{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)} \right),$$ então multiplicando por f(x)   e integrando termo a termo no intervalo [-L, L] (o que se justifica, pois a série é uniformemente convergente), obtemos  $$\int \limits_{-L}^{L}{\left[f(x) \right]^2 dx} = \frac{a_0}{2} \int \limits_{-L}^{L}{f(x)dx} + $$ $$ + \sum\limits _{n=1}^{\infty}{ \left(  a_n \int \limits_{-L}^{L} {f(x) \cos{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)} dx } +b_n \int \limits_{-L}^{L} {f(x)\sin{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)}dx} \right)} =$$ $$= \frac{a_0}{2} L + L \sum\limits _{n=1}^{\infty}{\left( a_n ^2 + b_n ^2\right)}$$ onde utilizamos os resultados $$ \int \limits_{-L}^{L} {f(x) \cos{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)} dx } = L a_n ;$$ $$ \int \limits_{-L}^{L} {f(x)\sin{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)}dx} = L b_n ;$$ $$ \int \limits_{-L}^{L}{f(x)dx} = L a_0$$ todos obtidos dos coeficientes de Fourier.

Agora, dividindo ambos os membros da igualdade $$\int \limits_{-L}^{L}{\left[f(x) \right]^2 dx} = \frac{a_0^2}{2} L + L \sum\limits _{n=1}^{\infty}{\left( a_n ^2 + b_n ^2\right)}$$por L, obtemos a igualdade da Identidade de Parseval.

OBSERVAÇÃO: É importante registrar que a Identidade de Parseval é válida sob condições menos restritivas do que as que foram impostas na demonstração acima. Como veremos mais à frente neste mesmo artigo.

EXEMPLO: Considere a função f(x) = x com 0 < x <2 . Podemos facilmente chegar à conclusão de que esta função pode ser estendida como uma função par de período igual a 4, dada por $$f(x) = 1 + \sum\limits _{n=1}^{\infty}{\frac{4}{n^2 \pi ^2} (cos(n \pi) -1)cos \left( \frac{n \pi x}{2} \right)}.$$

Este resultado foi obtido em um dos exercícios resolvidos deste artigo sobre Expansão de Fourier em Meio Intervalo.

Neste caso, L = 2 , a_0  = 2 , a_n = \dfrac{4}{n^2 \pi ^2} (cos(n \pi) -1) , n \neq 0 e b_n  = 0 .

Então, a identidade de Parseval se escreve $$ \frac{1}{2} \int \limits_{-2}^{2}{\left[f(x) \right]^2 dx} = \frac{1}{2} \int \limits_{-2}^{2}{x^2 dx} =  \frac{2^2}{2} + \sum\limits _{n=1}^{\infty}{\left( \frac{16}{n^4 \pi ^4} (cos(n \pi) -1)^2 \right)}$$ $$ \frac{8}{3} = 2 + \frac{64}{\pi ^4} \left( \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + … \right)  = 2 + \frac{64}{\pi ^4} \sum\limits _{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(2n-1)^4}}.$$ O que nos leva a  concluir que $$ \sum\limits _{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(2n-1)^4}} = \frac{\pi ^4}{96}. $$

EXEMPLO: Vamos provar que para todo inteiro positivo M, $$\frac{a_0^2}{2} + \sum\limits _{n=1}^{M}{\left( a_n ^2 + b_n ^2\right)} \leq \frac{1}{L} \int \limits_{-L}^{L}{\left[f(x) \right]^2 dx}$$ onde a_n e b_n são os coeficientes de Fourier correspondentes a f(x) e se f(x) se supõe seccionalmente  contínua em (-L,L).

Seja $$S_M(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^{M}\left( a_n \cos{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)}+b_n \sin{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)} \right) .$$

Para M = 1 , 2, 3, ... , esta é uma sequência de somas parciais da série de Fourier correspondente a f(x) .

Temos que $$ \int \limits_{-L}^{L}{\left[f(x) –  S_M(x)  \right]^2 dx} \geq 0$$ pois o integrando é não negativo.

Desenvolvendo o integrando, obtemos $$ \int \limits_{-L}^{L}{\left[f(x) –  S_M(x)  \right]^2 dx} = – 2 \int \limits_{-L}^{L}{f(x) S_M(x) dx} + \int \limits_{-L}^{L}{[S_M(x)]^2 dx} + \int \limits_{-L}^{L}{[f(x)]^2 dx}$$ e pela desigualdade $$ 2 \int \limits_{-L}^{L}{f(x) S_M(x) dx} – \int \limits_{-L}^{L}{[S_M(x)]^2 dx} \leq  \int \limits_{-L}^{L}{[f(x)]^2 dx}.$$

Multiplicando ambos os membros de $$S_M(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^{M}\left( a_n \cos{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)}+b_n \sin{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)} \right) $$ por 2 f(x) e integrando de -L a L, aplicando as equações

$$ \int \limits_{-L}^{L} {f(x) \cos{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)} dx } = L a_n ;$$ $$ \int \limits_{-L}^{L} {f(x)\sin{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)}dx} = L b_n ;$$ $$ \int \limits_{-L}^{L}{f(x)dx} = L a_0$$ vem que  $$ 2 \int \limits_{-L}^{L}{f(x) S_M(x) dx} = 2L \left[ \frac{a_0^2}{2} + \sum\limits _{n=1}^{M}{\left( a_n ^2 + b_n ^2\right)} \right] .$$

Agora, de maneira análoga, elevando $$S_M(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum\limits_{n=1}^{M}\left( a_n \cos{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)}+b_n \sin{\left( \frac{n\pi x}{L} \right)} \right)$$ ao quadrado e integrando de -L a L, utilizando as mesmas relações sobre os coeficientes de Fourier encontramos $$ \int \limits_{-L}^{L}{[S_M(x)]^2 dx} = L \left[ \frac{a_0^2}{2} + \sum\limits _{n=1}^{M}{\left( a_n ^2 + b_n ^2\right)} \right] . $$

Levando estas duas igualdades para a desigualdade $$ 2 \int \limits_{-L}^{L}{f(x) S_M(x) dx} – \int \limits_{-L}^{L}{[S_M(x)]^2 dx} \leq  \int \limits_{-L}^{L}{[f(x)]^2 dx}$$ e dividindo por L, obtemos o resultado desejado.

OBSERVAÇÕES:

(1) Passando ao limite quando M \rightarrow \infty , no exemplo anterior, obtemos a desigualdade de Bessel: $$\frac{a_0 ^2}{2} + \sum\limits _{n=1}^{\infty}{\left( a_n ^2 + b_n ^2\right)} \leq \frac{1}{L} \int \limits_{-L}^{L}{\left[f(x) \right]^2 dx}$$

(2) Podemos encarar S_M(x) como uma aproximação de f(x) .

Identidade de Parseval para Integrais de Fourier

Anteriormente, definimos a Identidade de Paseval para as Séries de Fourier. Existe um análogo para as integrais de Fourier.

Se F ( \alpha ) e G ( \alpha ) são transformadas de Fourier de f(x) e g(x) , respectivamente, pode-se mostrar que $$ \int \limits_{- \infty}^{ + \infty}{f(x)g(x)dx} = \frac{1}{2 \pi} \int \limits_{- \infty}^{ + \infty}{F ( \alpha ) \bar{G ( \alpha )} d \alpha} $$ onde a barra indica o complexo conjugado obtido pela substituição de i por -i . Em particular, se f(x) = g(x) , donde F ( \alpha ) = G ( \alpha ) , temos $$ \int \limits_{- \infty}^{ + \infty}{| f(x) | ^2 dx} = \frac{1}{2 \pi} \int \limits_{- \infty}^{ + \infty}{ | F ( \alpha )| ^2 d \alpha}.$$

Podemos nos referir a estas duas integrais como a identidade de Parseval para as integrais de Fourier.

Identidade de Parseval para Transformadas de de Fourier

Podem-se escrever resultados correspondentes envolvendo transformadas seno e cosseno. Se F_s( \alpha ) e G_s( \alpha ) são transformadas seno de Fourier de f(x) e g(x) , respectivamente, temos $$ \int \limits_{0}^{ \infty }{f(x)g(x)dx} = \frac{2}{\pi}\int \limits_{0}^{ \infty }{F_s( \alpha ) G_s( \alpha ) d \alpha} .$$

Analogamente, se F_c( \alpha ) e G_c( \alpha ) são transformadas cosseno de Fourier de f(x) e g(x) , respectivamente, temos $$ \int \limits_{0}^{ \infty }{f(x)g(x)dx} = \frac{2}{\pi}\int \limits_{0}^{ \infty }{F_c( \alpha ) G_c( \alpha ) d \alpha} .$$

No caso geral em que f(x) = g(x) $$ \int \limits_{0}^{ \infty }{\left[ f(x) \right] ^2 dx} = \frac{2}{\pi}\int \limits_{0}^{ \infty }{ \left[ F_s( \alpha ) \right] ^2  d \alpha} $$ $$ \int \limits_{0}^{ \infty }{\left[ f(x) \right] ^2 dx} = \frac{2}{\pi}\int \limits_{0}^{ \infty }{ \left[ F_c( \alpha ) \right] ^2  d \alpha} .$$

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