Bem-vindos ao universo do Cálculo Diferencial e Integral III! Aqui, embarcaremos numa jornada através de séries numéricas, equações diferenciais e transformadas de Laplace, essenciais para modelar fenômenos complexos em Engenharia de Alimentos. Nossa missão é desvendar as variações e padrões matemáticos que regem processos físicos e geométricos. Com uma abordagem prática, enfrentaremos listas de exercícios que solidificarão nossa compreensão teórica. Preparem-se para explorar desde conceitos fundamentais até técnicas avançadas, fundamentais para inovações e soluções eficientes em nossa área. Juntos, transformaremos desafios em conhecimento aplicável!
Ementa
Séries numéricas e de potências; Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem; Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e de ordem superior; Soluções de equações diferenciais ordinárias por série de potências, equação de Bessel; Transformada de Laplace; Aplicações.
Justificativa e Objetivo
Quando tratamos do problema de modelar um fenômeno ou experimento, a fim de resolver problemas de natureza física, geométrica, etc. quase sempre obtemos equações que envolvem as “variações” das variáveis presentes e consideradas essenciais para o modelo. Diante disso, queremos usar os conhecimentos básicos da teoria de equações diferenciais ordinárias para a resolução de problemas de natureza física e geométrica aplicados à engenharia.
Leituras Importantes antes de começar:
- Os 5 Melhores Livros Para Estudar Cálculo Diferencial e Integral
- Equações Diferenciais: Os 5 Melhores Livros para Aprender Sozinho
- Os 7 Melhores Livros de Ficção Para Quem Ama Matemática
- Como Aprender Matemática Sozinho? As Melhores Técnicas de Estudo
- Tabela de Derivadas, Integrais e Fórmulas Trigonométricas Importantes no Cálculo
Conteúdo Programático
O conteúdo programático aborda o estudo das Equações Diferenciais, um ramo importante da matemática aplicada. Cada seção é complementada com listas de exercícios resolvidos, proporcionando uma abordagem prática para consolidar os conceitos aprendidos.
O conteúdo abrange desde conceitos fundamentais até técnicas avançadas de resolução de equações diferenciais, proporcionando uma base abrangente no assunto.
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1. Equações diferenciais
Capítulo 1 – Introdução ao Conceito de Equações Diferenciais
1.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.2 – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.3 – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.4 – 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
2. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
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2.1 – Teorema da Existência e Unicidade de Soluções e Plano de Fase
2.2.1 – EDO’s Separáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.2.2 – EDO’s Separáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.2.3 – EDO’s Separáveis | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.3 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem
2.3.1 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.3.2 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4 – EDO’s Exatas – Fatores Integrantes
2.4.1 – EDO’s Exatas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.2 – EDO’s Exatas | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.3 – EDO’s Exatas | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.4 – EDO’s Exatas | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.5 – EDO’s Exatas | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.5.1 – EDO’s Lineares – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.5.2 – EDO’s Lineares – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.6 – EDO’s de Bernoulli e Ricatti
2.6.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos de Bernoulli e Ricatti
2.6.2 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos de Bernoulli
2.8 – Exercícios Resolvidos
2.8.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem
2.8.2 – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem
2.8.3 – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.4 – 4ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.5. – 5ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.6. – 6ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.7. – 7ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.8. – 8ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.9 – Aplicações da E.D.O.’s de Primeira Ordem:
2.9.1 – Dinâmica Populacional – Modelos de Malthus, Verhulst (ou logístico) e Gompertz
2.9.2 – A Lei do Resfriamento de Newton
3. Equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem
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3.1 – EDO’s Homogêneas com Coeficientes Constantes
3.1.1 – EDOs 2ª Ordem Homogêneas e Coef. Constantes | Exercícios Resolvidos
3.2 – EDO’s Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes: Método dos Coeficientes Indeterminados.
3.2.1 – Coeficientes Indeterminados | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.2.2 – Coeficientes Indeterminados | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.2.3 – Coeficientes Indeterminados | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.2.4 – Coeficientes Indeterminados | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.2.5 – Coeficientes Indeterminados | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.3 – EDO’s Lineares: O Princípio da Superposição
3.3.1 – O Princípio da Superposição – Exercícios Resolvidos
3.4 – EDO’s Homogêneas: Conjunto Fundamental de Soluções e Wronskiano
3.4.1 – E.D.O.’s Homogêneas de 2ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.4.2 – E.D.O.’s Homogêneas de 2ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.5 – O Método da Redução de Ordem
3.5.1 – 1ª Lista de Exercícios
4.6 – O Método da Redução de Ordem: A Equação de Euler-Cauchy
4.7 – Equações de 2ª Ordem tem o termo y(t)
4.8 – EDO’s Lineares: O Método da Variação dos Parâmetros
3.8.1 – Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.8.2 – Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.8.3 – Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.8.4 – Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.8.5 – Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.8.6 – Método da Variação dos Parâmetros | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.8.7 – Método da Variação dos Parâmetros | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.9 – Exercícios Resolvidos sobre Equações Lineares de 2ª Ordem
3.9.1 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos.
3.9.2 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos.
3.9.3 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos.
3.9.4 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos.
3.9.5 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos.
3.9.6 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
4.1 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
5. Transformada de Laplace
5.1 – Transformada de Laplace – Definição, exemplos e propriedades
5.1.1 – Transformada de Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.2 – Transformada de Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.3 – Transformada de Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.4 – Transformada de Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.5 – Transformada de Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.6 – Transformada de Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.2 – A Transformada de Laplace Inversa
5.2.1 – Transformada de Laplace Inversa | Lista de Exercícios Resolvidos
5.3 – Tabela Completa de Transformadas de Laplace
5.4 – A Função Degrau ou Função de Heaviside
5.4.1 – Função Degrau Unitário | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.4.2 – Função Degrau Unitário | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.5.1 – Lista de Exercícios sobre Delta de Dirac
5.6.1 – Equação Integral de Volterra
5.6.2 – A Convolução – Lista de Exercícios Resolvidos
5.7 – Propriedade da Derivada de F(s)
5.8 – Transformada de Laplace de Uma Função Periódica
5.9 – Solucionando Equações Diferenciais Ordinárias via Transformada de Laplace
5.9.1 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.2 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.3 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.4 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.5 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.6 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.7 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.8 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.9 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.10 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.11 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.12 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 12ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.13 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 13ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.14 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 14ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.15 – Resolvendo EDOs por Laplace | 15ª Lista de Exercícios Resolvidos
6. Séries e Aplicações
6.1 – Sequências Infinitas de Números Reais
6.2 – Sequências Monótonas de Números Reais
6.3 – O Limite de uma Sequência de Números Reais
6.4 – Sequências Números Reais: Limites Infinitos
6.5 – Séries Numéricas | Números Reais
6.5 – Séries Numéricas de Termos Positivos | Critérios de Convergência
6.6 – Séries Numéricas de Termos Alternados | Critérios de Convergência
6.6 – Progressões | P.A., P.G., Sequências e Séries Numéricas
6.7 Séries de Potências – Séries de Taylor e McLaurin
6.7.1 Séries de Potências – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
6.8 – Introdução à solução de EDOs por Séries de Potência
6.8.1 – E.D.O.’s e as Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
6.9 – E.D.O.’s Por Séries de Potência | Solução em Torno de Pontos Ordinários
6.10 – Soluções em Torno de Pontos Singulares: O Método de Frobenius
6.11– A Equação de Legendre e os Polinômios de Legendre
6.13 – A Equação de Weber e os Polinômios de Hermite
Bibliografia
Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina.
- GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
- BOYCE, W.; DIPRIMA R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,2002
- BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.
- EDWARDS, C. H.; PENNEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,1995.
- ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Editora Pioneira –Thomson Learning, São Paulo, 2003.
- KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
