Transformada de Laplace | Propriedade da Derivada de F(s)

O método da Transformada de Laplace é uma ferramenta muito poderosa na solução de EDO’s lineares e PVI’s correspondentes que pode ser resumido em três passos:

1. A EDO dada é tranformada em uma equação algébrica.
2. Esta equação é solucionada por manipulações algébricas.
3.  A solução obtida no ítem 2 é transformada de volta obtendo a solução do problema original dado.

Se f(t) é uma função definida para todo t \geq 0, sua Transformada de Laplace é uma função na variável s, chamada de F(s) e denotada por \mathscr{L} (f) é dada pela integral F(s) = \mathscr{L} (f) = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt} = \lim_{T \rightarrow \infty}{\int_{0}^{T}{e^{-st}f(t)dt}}. A função dada f(t) é denominada de transformada inversa de F(s) e é denotada por \mathscr{L}^{-1} (F), ou seja, f(t) = \mathscr{L}^{-1} (F(s)).

Propriedade da Derivada de Transformadas

TEOREMA:

Para  n = 1,2,3,..., $$\mathscr{L} \left[ t^n f(t) \right] = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} F(s), $$ em que F(s) = \mathscr{L} \left[ f(t) \right] .

Uma consequência direta deste teorema é que nas sua condições, $$ t^n f(t)  = \mathscr{L} ^{-1} \left[  (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} F(s) \right]. $$

EXEMPLO: Vamos calcular as Transformadas de Laplace abaixo usando o Teorema acima:

a) \mathscr{L} \left[ t e^{3t} \right]

Observe que nesse primeiro exemplo também podemos usar o deslocamento na frequência: \mathscr{L} (e^{at} f(t)) = F(s-a).

Para aplicar teorema acima, verificamos n = 1 e f(t) = e^{3t} :

$$ \mathscr{L} (t e^{3t} )  = – \frac{d}{ds} \mathscr{L} (e^{3t} ) =  – \frac{d}{ds} \left( \frac{1}{s-3} \right) = \frac{1}{(s-3)^2} .$$

b) \mathscr{L} \left[ t sen(kt) \right]

$$ \mathscr{L}\left[ t sen(kt) \right]  = – \frac{d}{ds} \mathscr{L} \left[ sen(kt) \right] =  – \frac{d}{ds} \left( \frac{k}{s^2 + k^2} \right) = \frac{2k s}{(s^2 + k^2)^2} .$$

c) \mathscr{L} \left[ t^2 sen(kt) \right]

Fazendo n=2 no teorema acima, essa transformada pode ser escrita como

$$ \mathscr{L}\left[ t^2 sen(kt) \right]  =  \frac{d^2}{ds^2} \mathscr{L} \left[ sen(kt) \right] =   \frac{d^2}{ds^2} \left( \frac{k}{s^2 + k^2} \right) = \frac{6ks^2 – 2k^3}{(s^2 + k^2)^3} .$$

Podemos encontrar esse resultado por um outro caminho usando o item b):

$$ \mathscr{L}\left[ t^2 sen(kt) \right]  = – \frac{d}{ds} \mathscr{L} \left[ t sen(kt) \right] = – \frac{d}{ds}   \left( \frac{2k s}{(s^2 + k^2)^2} \right) = \frac{6ks^2 – 2k^3}{(s^2 + k^2)^3} .$$

d) \mathscr{L} \left[ t e^{-t}cos(t) \right]

$$ \mathscr{L}\left[ t e^{-t}cos(t) \right] = – \frac{d}{ds} \mathscr{L} \left[ e^{-t}cos(t) \right].$$ Usando o deslocamento na frequência,  \mathscr{L} (e^{at} f(t)) = F(s-a) \Rightarrow \mathscr{L}\left[ e^{-t}cos(t) \right] = \frac{s+1}{(s+1)^2 +1} , encontramos:  $$ \mathscr{L}\left[ t e^{-t}cos(t) \right] = – \frac{d}{ds} \left[ \frac{s+1}{(s+1)^2 +1} \right] = \frac{(s+1)^2 – 1 }{[(s+1)^2 +1]^2} .$$

EXEMPLO: Vamos calcular as Transformadas de Laplace Inversas abaixo:

a) \mathscr{L} ^{-1} \left[ \ln{\left( \frac{s^2 + 9}{s+1} \right)} \right]

Seja  f(t) =  \mathscr{L} ^{-1} \left[ \ln{\left( \frac{s^2 + 9}{s+1} \right)} \right] , então $$ t f(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left[ -\frac{d}{ds} \ln{\left( \frac{s^2 + 9}{s+1} \right)} \right] = – \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{{s}^{2}+2\,s-9}{\left( s+1\right) \,\left( {s}^{2}+9\right) }  \right] .$$

Por Frações Parciais (leia mais aqui) encontramos $$ t f(t) = – \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{2\,s}{{s}^{2}+9}-\frac{1}{s+1} \right] = -2 cos(3t) + e^{-t} .  $$

Portanto, $$ f(t) = \frac{-2 cos(3t) + e^{-t}}{t}. $$

b) \mathscr{L} ^{-1} \left[ arctg \left( \frac{1}{s} \right) \right]

Seja  f(t) =  \mathscr{L} ^{-1} \left[ arctg \left( \frac{1}{s} \right) \right] , então $$ t f(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left[ -\frac{d}{ds} arctg \left( \frac{1}{s} \right) \right] = – \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{s^2}{s^2 +1} \times – \frac{1}{s^2} \right] = \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{1}{s^2 +1} \right] .$$

Portanto, $$ t f(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{1}{s^2 +1} \right] = sen(t).  $$

Portanto, $$ f(t) = \frac{sen(t)}{t}. $$

Leia Mais: O Delta de Dirac | Da definição à solução de Equações Diferenciais

EXEMPLO: Vamos calcular a Transformada de Laplace de \mathscr{L}  \left[ kt cos(kt) + sen(kt) \right] .

Observe que a regra do produto para derivadas nos diz que $$ kt cos(kt) + sen(kt) = \frac{d}{dt} (t sen(kt)).$$

Logo, $$ \mathscr{L}  \left[ kt cos(kt) + sen(kt) \right] = \mathscr{L}  \left[ \frac{d}{dt} (t sen(kt)) \right] .$$

Lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e observando que se f(t) = t sen(kt) , então f(0) = 0. Daí,

$$ \mathscr{L}  \left[ kt cos(kt) + sen(kt) \right] = \mathscr{L}  \left[ \frac{d}{dt} (t sen(kt)) \right]  = s \mathscr{L}  \left[  tsen (kt) \right] $$

Agora, usando o teorema acima, obtemos $$ \mathscr{L}  \left[ kt cos(kt) + sen(kt) \right] = s \mathscr{L}  \left[  tsen (kt) \right] = s \left( – \frac{d}{ds}  \mathscr{L}  \left[ sen(kt) \right]   \right) = \frac{2k s^2}{(s^2 + k^2 )^2} .$$

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