A Convolução na Transformada de Fourier

A convolução é uma ferramenta poderosa no uso da Transformada de Fourier, principalmente na solução de Equações Diferenciais Parciais. Com o intuito de trabalhar com a transformada inversa de Fourier do produto entre duas funções vamos precisar da convolução, definida por $$h(t) = (f * g )(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(\tau)g(t-\tau)d\tau}.$$

Essa é a convolução de f e g,  e esta integral será denotada pela notação f*g. A convolução como definida neste momento possui propriedades importantes. Para funções f,g e h, temos que:

1. f*g=g*f;
2. f*(g*h)=(f*g)*h;
3. f*(g+h)=f*g+f*h.

Ou seja, a convolução é associativa, comutativa e distributiva.

A Convolução na Transformada de Fourier

Um teorema importante, conhecido como Teorema da Convolução, afirma que a transformada de Fourier da convolução de f(x) e g(x). Simbolicamente, $$\mathscr{F}\{ (f*g)(x) \} = \mathscr{F}\{ f(x) \}.\mathscr{F}\{ g(x) \}.$$

Ou seja, o sentido de estabelecer a convolução das funções f e g, é para que $$\mathscr{F}\{ (f*g)(x) \} = \mathscr{F}\{ f(x) \}.\mathscr{F}\{ g(x) \}$$ e aplicando a transformada inversa de Fourier obtemos $$f*g(x) = \mathscr{F}^{-1}\{\mathscr{F}\{ f(x) \}.\mathscr{F}\{ g(x) \}\}.$$

EXEMPLO [A Transformada de Fourier da função \delta de Dirac:]

Lembremos que a função delta de Dirac é definida pelo limite $$\delta (t-a) = \lim_{k \rightarrow 0} f_k(t-a),$$ com
$$f_k(t-a) = \left\{ \begin{array}{rl}
\frac{1}{k};& a \leq t \leq a+k\\
\\
0; & para\;\;\;os\;\;\;outros\;\;\;pontos \end{array}\right.$$

Considerando a=0, temos que $$\delta (t) = \lim_{k \rightarrow 0} f_k(t),$$ com
$$f_k(t) = \left\{ \begin{array}{rl}
\frac{1}{k};& 0 \leq t \leq k\\
\\
0; & para\;\;\;os\;\;\;outros\;\;\;pontos \end{array}\right.$$

Podemos facilmente verificar que $$f*\delta = f$$ para qualquer função f que possamos definir a convolução com \delta. Portanto, $$F(f)F(\delta) = F(f* \delta) = F(f)$$ e, por consequência, $$F(\delta) = 1.$$

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