A Equação da Corda Vibrante ou da Onda Unidimensional
Nesse artigo queremos determinar um modo de resolver a equação da onda unidimensional usando as Séries de Fourier.
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Equações Diferenciais
Nessa categoria desenvolvemos o conteúdo que envolve a teoria básica e aplicações de equações diferenciais, ordinárias e parciais, transformada de Laplace, séries e transformadas de Fourier.
Além disso, trazemos soluções de equações que modelam fenômenos físicos importantes como as EDOs que governam circuitos elétricos e sistemas mecânicos, além de EDPs que controlam dissipação de calor, ondas e diversos outros fenômenos naturais.
| Abaixo temos os tópicos sobre EQUAÇÕES DIFERENCIAIS abordados em sequência. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado ao conteúdo |
Capítulo 1 – Introdução ao Conceito de Equações Diferenciais
1.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.2 – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.3 – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.4 – 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
Capítulo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem:
2.1 – Teorema da Existência e Unicidade de Soluções e Plano de Fase
2.2.1 – EDO’s Separáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.2.2 – EDO’s Separáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.2.3 – EDO’s Separáveis | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.3 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem
2.3.1 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.3.2 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4 – EDO’s Exatas – Fatores Integrantes
2.4.1 – EDO’s Exatas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.2 – EDO’s Exatas | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.3 – EDO’s Exatas | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.4 – EDO’s Exatas | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.5 – EDO’s Exatas | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.5.1 – EDO’s Lineares – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.5.2 – EDO’s Lineares – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.6 – EDO’s de Bernoulli e Ricatti
2.6.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos de Bernoulli e Ricatti
2.6.2 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos de Bernoulli
2.8 – Exercícios Resolvidos
2.8.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem
2.8.2 – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem
2.8.3 – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.4 – 4ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.5. – 5ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.6. – 6ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.7. – 7ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.8. – 8ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.9 – Aplicações da E.D.O.’s de Primeira Ordem:
2.9.1 – Dinâmica Populacional – Modelos de Malthus, Verhulst (ou logístico) e Gompertz
2.9.2 – A Lei do Resfriamento de Newton
Capítulo 3 – Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
Capítulo 4 – Equações Diferenciais de Segunda Ordem:
4.1 – EDO’s Homogêneas com Coeficientes Constantes
4.1.1 – EDOs 2ª Ordem Homogêneas e Coef. Constantes | Exercícios Resolvidos
4.2 – EDO’s Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes: Método dos Coeficientes Indeterminados.
4.2.1 – Coeficientes Indeterminados | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.2.2 – Coeficientes Indeterminados | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.2.3 – Coeficientes Indeterminados | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.2.4 – Coeficientes Indeterminados | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.2.5 – Coeficientes Indeterminados | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.3 – EDO’s Lineares: O Princípio da Superposição
4.3.1 – O Princípio da Superposição – Exercícios Resolvidos
4.4 – EDO’s Homogêneas: Conjunto Fundamental de Soluções e Wronskiano
4.4.1 – E.D.O.’s Homogêneas de 2ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.4.2 – E.D.O.’s Homogêneas de 2ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.5 – O Método da Redução de Ordem
4.5.1 – 1ª Lista de Exercícios
4.6 – A Equação de Euler-Cauchy
4.7 – Equações de 2ª Ordem tem o termo y(t)
4.8 – EDO’s Lineares: O Método da Variação dos Parâmetros
4.8.1 – Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.2 – Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.3 – Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.4 – Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.5 – Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.6 – Método da Variação dos Parâmetros | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.7 – Método da Variação dos Parâmetros | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.9 – Exercícios Resolvidos sobre Equações Lineares de 2ª Ordem
4.9.1 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.2 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.3 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.4 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.5 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.6 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos.
Capítulo 5 – A Transformada de Laplace
5.1 – Transformada de Laplace – Definição, exemplos e propriedades
5.1.1 – Transformada de Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.2 – Transformada de Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.3 – Transformada de Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.4 – Transformada de Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.5 – Transformada de Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.6 – Transformada de Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.2 – A Transformada de Laplace Inversa
5.2.1 – Transformada de Laplace Inversa | Lista de Exercícios Resolvidos
5.3 – Tabela Completa de Transformadas de Laplace
5.4 – A Função Degrau ou Função de Heaviside
5.4.1 – Função Degrau Unitário | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.4.2 – Função Degrau Unitário | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.5.1 – Lista de Exercícios sobre Delta de Dirac
5.6.1 – Equação Integral de Volterra
5.6.2 – A Convolução – Lista de Exercícios Resolvidos
5.7 – Propriedade da Derivada de F(s)
5.8 – Transformada de Laplace de Uma Função Periódica
5.9 – Solucionando Equações Diferenciais Ordinárias via Transformada de Laplace
5.9.1 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.2 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.3 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.4 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.5 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.6 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.7 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.8 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.9 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.10 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.11 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.12 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 12ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.13 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 13ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.14 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 14ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.15 – Resolvendo EDOs por Laplace | 15ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.11 – Aplicações da Transformada de Laplace
5.11.1 – Circuitos Elétricos em Série
5.11.2 – Equação Integral de Volterra | Convolução e Transformada de Laplace
5.11.3 – A Solução da Equação da Onda Unidimensional Usando a Transformada de Laplace
Capítulo 6 – Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Por Séries de Potências
6.1 – Introdução à solução de EDOs por Séries de Potência
6.1.1 – E.D.O.’s e as Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
6.2 – E.D.O.’s Por Séries de Potência | Solução em Torno de Pontos Ordinários
6.3 – Soluções em Torno de Pontos Singulares: O Método de Frobenius
6.4 – A Equação de Legendre e os Polinômios de Legendre
6.5 – A Equação de Weber e os Polinômios de Hermite
Capítulo 7 – Análise de Fourier
7.2 – A Ortogonalidade das Funções Seno e Cosseno
7.3 – Os Coeficientes de Fourier
7.4 – Séries de Fourier – Definição, Exemplos e Condições de Dirichlet
7.4.1 – Séries de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
7.4.2 – Séries de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
7.4.3 – Séries de Fourier | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
7.5 – Séries de Fourier – A Expansão em Meio Intervalo
7.5.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos sobre Expansão em Meio Intervalo
7.6 – Diferenciação e Integração da Série de Fourier
7.7 – A Integral de Fourier – Fator Descontínuo de Dirichlet e Integrais de Laplace
7.7.1 – 1ª Lista de Exercícios Sobre a Integral de Fourier
7.7.2 – 2ª Lista de Exercícios Sobre a Integral de Fourier
7.8 – Transformada de Fourier | Introdução aos conceitos básicos
7.8.1 – Transformada de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
7.8.2 – Transformada de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos.
7.8.3 – Transformada de Fourier | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos.
7.9 – Transformadas Seno e Cosseno de Fourier
7.9.1 – Transformadas Seno e Cosseno de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
7.10 – A Convolução e a Transformada de Fourier
7.11 – A Identidade de Parseval
Capítulo 8 – Equações Diferenciais Parciais
8.1 – Uma Introdução às Equações Diferenciais Parciais
Capítulo 9 – A Equação das Ondas
9.1 – Corda Vibrante Finita | A Equação da Onda Unidimensional
9.1.1 – 1ª Lista de Exercícios
9.2 – A Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita
Capítulo 10 – A Equação do Calor
10.1 – Resolvendo Equação do Calor Unidimensional numa Haste Finita Usando as Séries de Fourier
10.2 – Resolvendo A Equação do Calor Numa Haste Infinita Usando a Transformada de Fourier
10. 3 – Resolvendo a Equação do Calor Numa Haste Semi-Infinita Usando a Integral de Fourier
10. 4 – Resolvendo a Equação do Calor Numa Chapa Semi-Infinita Usando a Transformada Cosseno de Fourier
Capítulo 11 – Aplicações dos Sistemas de Equações Diferenciais
11.1 – Modelo SIS de Propagação de Infecção | Matemática Aplicada à Epidemiologia
Apêndice 1 – Funções Especiais
A.2 A Função Gama
A.2.1 Função Gama | Lista de Exercícios Resolvidos
A.4 A Função Beta | Definição, Propriedades e Exercícios Resolvidos
Bibliografia
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Grande parte do conteúdo aqui apresentado é retirado de livros usados como livros-texto nos cursos de graduação e selecionado à partir das ementas destes mesmos cursos.
Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
ÁVILA, G. Variáveis Complexas e Aplicações, LTC, Rio de Janeiro,1990
BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.
THOMAS, G. B. Cálculo, Editora Pearson Education, São Paulo, 2002.
ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Editora Pioneira –
Thomson Learning, São Paulo, 2003.
SPIEGEL, M. R. Análise de Fourier, McGraw-Hill, São Paulo, 1976.
KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
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