EDOs 2ª Ordem Homogêneas e Coef. Constantes | Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma lista de exercícios sobre equações homogêneas de segunda ordem com coeficientes contantes. Estas EDO’s são dadas pela forma geral ay'' + b y'+ c y = 0, onde a,b,c são constantes dadas.

Considerando a equação ay''+by'+cy=0 com a, b e c coeficientes reais dados e sejam \lambda _1 e \lambda _2 as raízes da equação caraterística.

1) Se \lambda _1 \neq \lambda _2 raízes reais, então a solução geral da EDO será y(t) = c_1 e^{\lambda _1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}.

2) Se \lambda _1 = \lambda _2, raízes reais, então a solução geral da EDO será y(t) = c_1 e^{\lambda _1 t} + c_2 t e^{\lambda_2 t}.

3) Se \lambda = \alpha \pm \beta i, raízes complexas, então a solução geral da EDO será y(t)=e^{\alpha t} \left( c_1 \cos{\beta t} + c_2 \sin{\beta t} \right), c_1 , c_2 \in \mathbb{R}.

Listas de Exercícios Resolvidos de EDOs 2ª Ordem, Homogêneas, com Coeficientes Constantes

1.  y'' + y' +y = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 + \lambda +1 = 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda _{1,2} = \frac{-1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2},$$ ou seja, raízes reais complexas conjugadas, logo $$y(t) = e^{\frac{-1}{2} t} \left( c_1 cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t\right) + c_2 sen \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t \right) \right).$$

2. y'' + y = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 +1 = 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1,2} = \pm i ,$$ ou seja, raízes reais complexas conjugadas, logo $$y(t) =c_1 cos \left( t \right) + c_2 sen \left( t \right).$$

3.  y'' - y = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 -1 = 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} =1, \lambda_ {2} = -1 ,$$ ou seja, raízes reais diferentes, logo $$y(t) =c_1 e^t  + c_2 e^{-t}.$$

4.  y'' = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 = 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} = 0 = \lambda_ {2} ,$$ ou seja, raízes reais iguais, logo $$y(t) =c_1 t + c_2.$$

5. y'' +y' = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 -\lambda = 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} =0, \lambda_ {2} = -1 ,$$ ou seja, raízes reais diferentes, logo $$y(t) =c_1  + c_2 e^{-t}.$$

6. y’’ - 3y’ + 2y = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 -3 \lambda + 2= 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} =1, \lambda_ {2} = 2 ,$$ ou seja, raízes reais diferentes, logo $$y(t) =c_1 e^{2t}  + c_2 e^{t}.$$

7. y’’ + 3y’ + 2y = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 + 3 \lambda + 2= 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} =-1, \lambda_ {2} = -2 ,$$ ou seja, raízes reais diferentes, logo $$y(t) =c_1 e^{-2t}  + c_2 e^{-t}.$$

8. y''+4y'+4 = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 +4 \lambda + 4= 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} = \lambda_ {2} = -2 ,$$ ou seja, raízes reais iguais, logo $$y(t) =c_1 e^{-2t}  + c_2 t e^{-2t}.$$

9. 4y''-y'+y=0

A equação característica, dada por $$ 4 \lambda^2 – \lambda +1 = 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda _{1,2} = \frac{1}{8} \pm i \frac{\sqrt{15}}{8},$$ ou seja, raízes reais complexas conjugadas, logo $$y(t) = e^{\frac{1}{8} t} \left( c_1 cos \left( \frac{\sqrt{15}}{8} t\right) + c_2 sen \left( \frac{\sqrt{15}}{8} t \right) \right).$$

10. y'' - y' +y = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 – \lambda +1 = 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda _{1,2} = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2},$$ ou seja, raízes reais complexas conjugadas, logo $$y(t) = e^{\frac{1}{2} t} \left( c_1 cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t\right) + c_2 sen \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t \right) \right).$$

11. 6y'' - y' - y = 0

A equação característica, dada por $$ 6 \lambda^2 – \lambda – 1 = 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} =\frac{1}{2}, \lambda_ {2} = -\frac{1}{3} ,$$ ou seja, raízes reais diferentes, logo $$y(t) =c_1 e^{\frac{1}{2} t}  + c_2 e^{-\frac{1}{3} t}.$$

12. y'' + 5y' = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 – 5 \lambda = 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} =0, \lambda_ {2} = -5 ,$$ ou seja, raízes reais diferentes, logo $$y(t) =c_1  + c_2 e^{-5t}.$$

13. y'' - 6y' +9y = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 -6 \lambda + 9= 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} = \lambda_ {2} = -3 ,$$ ou seja, raízes reais iguais, logo $$y(t) =c_1 e^{-3t}  + c_2 t e^{-3t}.$$

14. y'' - 12 y' +9y = 0

A equação característica, dada por $$ \lambda^2 – 12 \lambda +9 = 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} = 6 + \sqrt{3}, \lambda_ {2} = 6 – \sqrt{3} ,$$ ou seja, raízes reais diferentes, logo $$y(t) =c_1  + c_2 e^{-5t}.$$

15. y'' - k^2y = 0 , sendo k uma constante real;

SOLUÇÃO: Esta equação diferencial tem a equação auxiliar m^2 - k^2 = 0 , cujas raízes são m_1 = k e m_2 = -k . Daí, a solução geral é dada por $$y(x) = c_1 e^{kx} + c_2 e^{-kx}. $$

Leia Mais:

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