Resolvendo EDOs por Laplace | 13ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo temos mais 4 exercícios resolvidos sobre E.D.O.’s solucionadas via Transformada de Laplace retiradas do livro “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno”, do Boyce e DiPrima.

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 13ª Lista de Exercícios

Resolva as E.D.O.’s abaixo usando a Transformada de Laplace:

1) y'' - y' - 6y = 0; y(0)=1 e y'(0) = -1.

Solução: Aplicando a transformada de Laplace na equação, encontramos $$ \left[ s^2 Y(s) – s+1 \right] – s Y(s) +1 – 6 Y(s) = 0 $$ $$Y(s) \left[ s^2 -s-6 \right] = s-2 $$ $$ Y(s) = \frac{s-2}{s^2 -s -6}$$ e usando frações parciais, encontramos $$ Y(s) = \frac{s-2}{s^2 -s -6} = \frac{4}{5} \frac{1}{s+2}+\frac{1}{5} \frac{1}{s-3}.$$

Aplicando a Transformada de Laplace Inversa encontramos a solução $$ y(t) = \frac{4}{5} e^{-2t}+\frac{1}{5} e^{3t}.$$

2) y'' + \omega ^2 y = \cos{(2t)}; \omega \neq 4, y(0)=1 e y'(0) = 0.

Solução: Aplicando a transformada de Laplace na equação, encontramos $$Y(s) \left[ s^2 + \omega ^2 \right] – s = \frac{s}{s^2 +4}$$ $$Y(s) \left[ s^2 + \omega ^2 \right] = \frac{s}{s^2 +4}+s$$ $$Y(s) = \frac{s}{(s^2 +4)(s^2 + \omega ^2)}+\frac{s}{s^2 + \omega ^2}.$$

Desta forma, usando o teorema da convolução $$y(t) = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{s}{(s^2 +4)(s^2 + \omega ^2)} \right\} + \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{s}{(s^2 + \omega ^2)} \right\}$$ $$y(t) = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{s}{(s^2 +4)} \frac{1}{(s^2 + \omega ^2)} \right\} + \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{s}{(s^2 + \omega ^2)} \right\}$$ $$y(t) = \text{cos}(2t) \ast \frac{1}{\omega} \text{sen}( \omega t) + \text{cos}( \omega t).$$

Lembre-se que $$ \text{cos}(2t) \ast \frac{1}{\omega} \text{sen}( \omega t) = \int\limits_{0}^{t}{\text{cos}(2u) \frac{1}{\omega} \text{sen}( \omega [t-u]) du}= $$ $$ = \frac{\mathrm{cos}\left( 2\,t\right) }{{\omega}^{2}-4} – \frac{\mathrm{cos}\left( t\,\omega \right) }{{\omega}^{2}-4}.$$

Portanto, $$y(t) = \frac{\mathrm{cos}\left( 2\,t\right) }{{\omega}^{2}-4} – \frac{\mathrm{cos}\left( t\,\omega \right) }{{\omega}^{2}-4}+ \text{cos}( \omega t).$$

3) y'' - 2y' +2y = \cos{(t)}; y(0)=1 e y'(0) = 0.

Solução: Aplicando a transformada de Laplace na equação encontramos $$ Y(s) \left[ s^2 – 2s +2 \right] = \frac{s}{s^2 +1} +s -2$$ $$ Y(s) = \frac{s}{(s^2 +1)(s^2 – 2s +2)} + \frac{s}{(s^2 – 2s +2)} – 2 \frac{1}{(s^2 – 2s +2)} $$ $$ Y(s) = \frac{s}{(s^2 +1)([s-1]^2 + 1)} + \frac{s}{[s-1]^2 + 1} – 2 \frac{1}{[s-1]^2 + 1} $$ $$ Y(s) = \frac{1}{5} \frac{s-2}{s^2 +1} – \frac{1}{5} \frac{s-4}{([s-1]^2 + 1)} + \frac{s-1 +1}{[s-1]^2 + 1} – 2 \frac{1}{[s-1]^2 + 1} $$ $$ Y(s) = \frac{1}{5} \frac{s-2}{s^2 +1} – \frac{1}{5} \frac{s-1-3}{([s-1]^2 + 1)} + \frac{s-1}{[s-1]^2 + 1} – \frac{1}{[s-1]^2 + 1} $$ $$ Y(s) = \frac{1}{5} \frac{s}{s^2 +1} – \frac{2}{5} \frac{1}{s^2 +1} – \frac{4}{5} \frac{s-1}{([s-1]^2 + 1)} – \frac{2}{5} \frac{1}{[s-1]^2 + 1} $$ Portanto, $$y(t) = \frac{1}{5} \text{cos}(t) – \frac{2}{5} \text{sen}(t)- \frac{4}{5} e^{t}\text{cos}(t) – \frac{2}{5}e^{t} \text{sen}(t).$$

4) y'' + 2y' +y = 4e^{-t}; y(0)=2 e y'(0) = -1.

Solução: Aplicando a transformada de Laplace na equação, encontramos $$s^2 Y -2s+1 + 2 \left[ sY -2 \right] +Y = 4 \frac{1}{s+1}$$ $$Y [s^2 +2s +1] = 4 \frac{1}{s+1} +2s +3 $$ $$Y (s+1)^2 = 4 \frac{1}{s+1} +2s +3 $$ $$Y (s)= 4 \frac{1}{(s+1)^3} +2 \frac{s+1}{(s+1)^2} + \frac{1}{(s+1)^2} $$ $$Y (s)= 4 \frac{1}{(s+1)^3} +2 \frac{1}{(s+1)} + \frac{1}{(s+1)^2} .$$Usando a propriedade no deslocamento na frequência, encontramos $$y(t) = 2 t^2 e^{-t} +2e^{-t}+ te^{-t} = e^{-t} \left( 2t^2 +t +2\right).$$

Listas de Exercícios

• Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDOs por Laplace | 12ª Lista de Exercícios Resolvidos

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