Método da Variação dos Parâmetros | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma sétima lista de exercícios resolvidos sobre o Método da Variação dos parâmetros para E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem. O método da variação dos parâmetros foi idealizado pelo matemático francês Lagrange e pode ser visto como uma continuidade do método dos coeficientes indeterminados. Este método nos dá uma solução particular da equação y''+ p(t)y'+q(t)y=g(t), uma vez que são conhecidas soluções da equação homogênea y''+ p(t)y'+q(t)y=0.

A idéia crucial é substituir as constantes c_1 e c_2 na equação y(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t) por funções u_1 (t) e u_2 (t). Assim, y(t) = u_1 (t) y_1(t) +u_2 (t) y_2(t). Agora, determinamos y' e y'' e substituímos ambos na equação não homogênea.

Assim, chegaremos a uma solução particular da EDO não-homogênea é dada por \psi(t) = -y_1(t) \int{\dfrac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\dfrac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt, e a solução geral será dada por y=c_1y_1(t) + c_2 y_2 (t)+\psi (t).

7ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre o Método da Variação dos Parâmetros:

1. Calcule a solução das EDO’s lineares de 2ª ordem usando o Método da Variação dos Parâmetros:

a) y'' - 2y' = e^x sen(x);

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada y'' - 2y' = 0 possui solução dada por y_h (x) = c_1 + c_2 e^{2x} . Logo, temos como soluções particulares que formam um CFS y_1 (x) = 1 e y_2 (x) = e^{2x} , nos dando o Wronskiano igual a W (y_1 , y_2 ) = 2 e^{2x} . Assim usando a variação dos parâmetros encontramos $$ y_p (x) = – \int{\frac{e^{2x} e^x sen(x) }{2 e^{2x}} dx} + e^{2x} \int{\frac{e^x sen(x)}{2 e^{2x}} dx} = \\ = – \frac{1}{2} \int{e^x sen(x) dx} + \frac{e^{2x} }{2} \int{e^{-x} sen(x) dx} = \\ = – \frac{1}{2} e^{x} sen(x).$$ Portanto, a solução geral neste caso é dada por $$y(x) = c_1 + c_2 e^{2x} – \frac{1}{2} e^{x} sen(x).$$

b) y'' - 6y' + 9y = \dfrac{e^{3x}}{x^2};

SOLUÇÃO: Neste caso, observamos que a a equação homogênea associada y'' - 6y' + 9y = 0 nos dá como solução y_h (x) = c_1 e^{3x} + c_2 x e^{3x} , em que as funções y_1 (x) = e^{3x} e y_2 (x) = x e^{3x} formam um CFS com W (y_1 , y_2 ) = e^{6x}. Usando o método da variação dos parâmetros encontramos $$ y_p(x) =  – e^{3x} \int{\frac{ x e^{3x} e^{3x} }{e^{6x} x^2} dx} + x e^{3x} \int{\frac{e^{3x} e^{3x} }{x^2 e^{6x}} dx}= \\ = – e^{3x} \int{x^{-1} dx} + x e^{3x} \int{x^{-2} dx} \\ = – e^{3x} ln(x) –  e^{3x}.$$ Portanto, $$y(x) = c_1 e^{3x} + c_2 x e^{3x} – e^{3x} ln(x) –  e^{3x}.$$

c) x^2 y'' + xy' - y = (x^3 + 3x^2) e^x;

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é de Euler-Cauchy, x^2 y'' + xy' - y = 0, que tem solução dada por y_h(x) = c_1 x^{-1} + c_2 x , o que nos leva a y_1 (x) = x^{-1} e y_2 (x) = x} que formam um CFS da equação homogênea com W(y_1 , y_2 ) = 2/x .

Neste caso, como temos coeficientes variáveis na equação obrigatoriamente temos que usar o Método da Variação dos Parâmetros e para isso precisamos dividir a equação toda por x^2 . Daí, $$y_p (x) = -\frac{x^{-1}}{2} \int{x^2 (x+3) e^x dx } + \frac{x}{2} \int{(x+3) e^x dx} = \\ = -\frac{x^{-1}}{2} \left[ \left( {x}^{3}-3\,{x}^{2}+6\,x-6\right) \,{e}^{x}+3\,\left( {x}^{2}-2\,x+2\right) \,{e}^{x} \right] +  \frac{x}{2} \left[ \left( x-1\right) \,{e}^{x}+3\,{e}^{x} \right] = \\ = \\ \frac{-\left( {x}^{3}-3\,{x}^{2}+6\,x-6\right) \,{e}^{x}-3\,\left( {x}^{2}-2\,x+2\right) \,{e}^{x}}{2\,x}+\frac{x\,\left( \left( x-1\right) \,{e}^{x}+3\,{e}^{x}\right) }{2} = \\ = x e^x.$$ Portanto, a solução geral será dada por $$ y(x) = c_1 x^{-1} + c_2 x + x e^x. $$

d) (x+2)^2 y'' - (x+2)y' +y = 3x+4;

SOLUÇÃO: Primeiramente vamos resolver a equação homogênea associada (x+2)^2 y'' - (x+2)y' +y = 0 utilizando a mudança de variável z = x+2 . Desta forma, obtemos x = z-2 e usando a regra da cadeia, $$ \frac{dy}{dz} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dz} = \frac{dy}{dx} \cdot 1 \Leftrightarrow \frac{dy}{dz} = \frac{dy}{dx}.$$ Portanto, a equação homogênea associada se torna $$z^2 y” – z y’ + y = 0 $$ que é um equação de Euler-Cauchy com solução dada por $$y(z) = c_1 (z) + c_2 z \ln{|z|}$$ e desfazendo a mudança de variáveis encontramos $$y(x) = c_1 (x+2 ) + c_2 (x+2) \ln{|x+2|} $$ como solução da equação homogênea associada, onde y_1 (x) = x+2 e y_2 (x) = (x+2) \ln{|x+2|} formam um CFS com Wronskiano dado por W (y_1 , y_2 ) = x+2. Agora, utilizando o método da variação dos parâmetros encontramos: $$y_p (x) = -(x+2) \int{\frac{\ln{(x+2)} (3x +4)}{(x+2)^2} dx} + (x+2) \ln{(x+2)} \int{\frac{3x+4}{(x+2)^2} dx} = \\ = -(x+2) \left[  \frac{\left( 3\,x+6\right) \,{\mathrm{ln}^{2} \left( x+2\right) }+4\,\mathrm{ln}\left( x+2\right) +4}{2\,x+4} \right] + \\ + (x+2) \ln{(x+2)} \left[ 3\,\mathrm{ln}\left( x+2\right) +\frac{2}{x+2} \right] = \\ = \frac{3}{2} (x+2) \mathrm{ln}^{2} \left( x+2\right)  -2. $$ Portanto, $$ y(x) = c_1 (x+2 ) + c_2 (x+2) \ln{|x+2|} + \frac{3}{2} (x+2) \mathrm{ln}^{2} \left( x+2\right)  -2.$$

2. Resolva a E.D.O. y'' + 4y = x^2 sen(2x) usando:

a) o método dos Coeficientes Indeterminados;

SOLUÇÃO: Primeiramente observe que a equação homogênea associada, y'' + 4y = 0 tem solução dada por $$ y_h (x) = c_1 cos (2x) + c_2 sen(2x) .$$ Para usar o método dos coeficientes indeterminados para resolver a equação completa devemos observar que o termo sen(2x) aparece na solução da parte homogênea como consequência de uma raíz de multiplicidade 1 e, por isso, devemos considerar $$ y_p (x) = Ax^3 cos(2x) + Bx^3 sen(2x) + C x^2 cos(2x) + Ex^2 sen(2x) + Fxcos(2x) + Gx sen(2x) .$$ Note que Hcos(2x) + K sen(2x) não foram incluídos, porque estes termos estão na solução da equação homogênea associada. Substituindo y_p (x) na equação obtemos $$ A = -1/12; B = C = G = 0, E = 1/16, F= 1/32.$$ Ou seja, uma solução particular desta EDO seguindo o método dos coeficientes indeterminados seria $$ y_p(x) = -\frac{1}{12} x^3 cos(2x) + \frac{1}{16}Ex^2 sen(2x) + \frac{1}{32}xcos(2x).$$ Portanto, $$ y(x) = c_1 cos (2x) + c_2 sen(2x) -\frac{1}{12} x^3 cos(2x) + \frac{1}{16}x^2 sen(2x) + \frac{1}{32}xcos(2x) .$$

b) o método da Variação dos Parâmetros.

SOLUÇÃO: Pelo item anterior podemos considerar y_1 (x) = cos(2x) e y_2 (x) = sen(2x) como um CFS desta equação com W(y_1 , y_2 ) = 2 . Agora, usando o método da variação dos parâmetros encontramos $$ y_p (x) = – cos(2x) \int{\frac{x^2 sen^2 (2x)}{2} dx} + sen(2x) \int{\frac{x^2 sen (2x) cos(2x) }{2} dx} = \\ -\frac{1}{2} cos(2x) \left[ -\frac{\left( 24\,{x}^{2}-3\right) \,\mathrm{sen}\left( 4\,x\right) +12\,x\,\mathrm{cos}\left( 4\,x\right) -32\,{x}^{3}}{192} \right] + \\ + \frac{1}{2} sen(2x) \left[ \frac{4\,x\,\mathrm{sen}\left( 4\,x\right) +\left( 1-8\,{x}^{2}\right) \,\mathrm{cos}\left( 4\,x\right) }{64} \right] = \\ = \frac{\left( 24\,{x}^{2}-3\right) \,\mathrm{sen}\left( 2\,x\right) +\left( 12\,x-32\,{x}^{3}\right) \,\mathrm{cos}\left( 2\,x\right) }{384}.$$ Portanto, $$ y(x) = c_1 cos (2x) + c_2 sen(2x) + \frac{\left( 24\,{x}^{2}-3\right) \,\mathrm{sen}\left( 2\,x\right) +\left( 12\,x-32\,{x}^{3}\right) \,\mathrm{cos}\left( 2\,x\right) }{384}.$$

Observe que as soluções são semelhantes.

3. Usando o método da Variação dos Parâmetros encontre uma solução para a E.D.O. de 3ª ordem $$y^{(3)} + y’ = cosec(x).$$

SOLUÇÃO: Observe que fazendo a substituição u = y' , obtemos a EDO de segunda ordem $$u” + u = cosec(x) $$ que tem como solução da equação homogênea associada u_h (x) = c_1 cos(x) + c_2 sen(x) , cujas funções u_1 (x) = cos(x) e u_2 (x) = sen(x) formam um CFS com W (u_1 , u_2 ) = 1. Usando o método da variação dos parâmetros encontramos $$ u_p(x) = – cos(x) \int{ sen(x) cosec(x) dx } + sen(x) \int{ cos(x) cosec(x) dx } = \\ = – cos(x) \int{ dx } + sen(x) \int{ cotan(x) dx } = -x cos(x) + sen(x) ln[sen(x)].$$ Ou seja, $$u(x) = c_1 cos(x) + c_2 sen(x) -x cos(x) + sen(x) ln[sen(x)] .$$

Portanto, $$y(x) = \int{\left( c_1 cos(x) + c_2 sen(x) -x cos(x) + sen(x) ln[sen(x)] \right) dx} = \\ c_1 sen(x) – c_2 cos(x) + c_3 – \int{x cos(x) dx}+ \int{sen(x) ln[sen(x)]  dx} = \\ = c_1 sen(x) – c_2 cos(x) + c_3 – \ln{\left( cosec(x) + cotg(x) \right)} – cos(x) \ln{(sen(x))} – x sen(x).$$

Mais Listas de Exercícios Resolvidos Sobre a Variação dos Parâmetros:

• Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
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