Equações Homogêneas | EDOs de Primeira Ordem

Agora, vamos estudar um tipo específico de EDOs de primeira ordem: as EDOs de 1ª Ordem Homogêneas. Em geral, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é representada por  \dfrac{dy}{dt}= f\left(t,y \right) onde f é uma função nas variáveis t e y. Nosso problema consiste em: Dada f\left(t,y \right), encontre funções y(t) que satisfaçam essa equação.

O que garante a existência de tais soluções é o teorema da existência e unicidade de soluções para equações diferenciais de primeira ordem, que sob certas condições asseguram a existência de um intervalo que tal solução está definida.

Funções Homogêneas de duas Variáveis

Uma função f(t,y) é dita homogênea de grau n, se satisfaz a condição $$f(tx,ty) = t^n f(x,y), $$ para algum número real n.

São exemplo de funções homogêneas:

1. f(x,y) = x^2 - 3xy +5y^2 ; homogênea de grau dois.
2. f(x,y) = \sqrt[3]{x^2 + 5y^2 }; homogênea de grau dois terços.
3. f(x,y) = \dfrac{x}{2y} + 4 ; homogênea de grau zero.

Já a função f(x,y) = x^3 + y^3 +1 não é homogênea.

Todos estes exemplos são facilmente verificados com manipulações algébricas básicas.

Se f(x,y) for uma função homogênea de grau n, note que poderemos escrever $$f(x,y) = x^n f \left(1, \frac{y}{x} \right)$$ e $$f(x,y) = y^n f \left( \frac{x}{y} , 1 \right) ,$$ em que f \left(1, \dfrac{y}{x} \right) e f \left( \frac{x}{y} , 1 \right) são ambas homogêneas de grau zero.

EXEMPLO: Observe que f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 é homogênea de grau dois. Logo, $$ f(x,y) = x^2 – 3xy +5y^2 = x^2 \left[ 1 + 3 \left( \frac{y}{x} \right) + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right] = x^2 f \left( 1, \frac{y}{x} \right)$$ $$ f(x,y) = x^2 – 3xy +5y^2 = y^2 \left[ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 3 \left( \frac{x}{y} \right) + 1 \right] = y^2 f \left( \frac{x}{y} , 1 \right)$$

Equações Homogêneas de 1ª Ordem

Uma equação diferencial homogênea de primeira ordem é definida em termos das funções homogêneas.

DEFINIÇÃO (Equação Homogênea):

Uma equação diferencial na forma $$M(x,y)dx + N(x,y) dy =0$$ é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.

De acordo com esta definição, uma equação na forma M(x,y)dx + N(x,y) dy =0 é homogênea se $$ M(tx,ty) = t^n M(x,y) \qquad e \qquad N(tx,ty) = t^n N(x,y).$$

MÉTODO DE SOLUÇÃO (Equação Homogênea):

Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica.

Especificamente, a substituição y = u x ou x = v y , em que u e v são as novas variáveis independentes, e elas serão transformadas em EDOs separáveis, onde $$dy = u dx + x du$$ no primeiro caso e $$ dx = v dy + y dv, $$ no segundo caso.

Ou seja, equações homogêneas são aquelas que podem ser escritas em termos da razão \dfrac{y}{x} e com isso se tornam equações separáveis.

Para mostrar todo o processo vamos recorrer a alguns exercícios resolvidos.

EXEMPLO: Resolva (x-y) dx + x dy =0

Observe que esta equação pode ser reescrita como $$ \frac{dy}{dx} = \frac{y – x}{x} = \frac{y}{x} – 1.$$

Fazendo u = \dfrac{y}{x} , obtemos $$ u + x \frac{du}{dx} = u – 1 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = – \frac{1}{x}  \Leftrightarrow u(x) = – \ln |x| +c$$

Portanto, y = x u = x (-\ln |x| +c) .

EXEMPLO: Resolva (xy + y^2 + x^2) dx - x^2 dy =0

Neste caso, podemos reescrever a equação como $$ \frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2 + x^2}{x^2} = \frac{y}{x} + \left( \frac{y}{x} \right)^2 + 1.$$

Fazendo novamente  u = \dfrac{y}{x} , obtemos $$ u + x \frac{du}{dx} =u + u^2 +1 \Leftrightarrow x \frac{du}{dx} = u^2 +1 \Leftrightarrow  \frac{du}{u^2 +1} = \frac{dx}{x} .$$

Desta forma, $$ \int{\frac{du}{u^2 +1}} = \int{\frac{dx}{x}} \Leftrightarrow  \arctan{u} = \ln{|x|} \Leftrightarrow u = \tan{(\ln{|x|} +c)}.$$

Portanto, y = x u = x \tan{(\ln{|x|} + c)}.

EXEMPLO: Resolva (2 \sqrt{xy} - y) dx - x dy =0

Essa equação pode ser reescrita como (2 \sqrt{xy} - y) - x \dfrac{dy}{dx} =0 . Motivado pelo coeficiente da primeira derivada, vamos fazer a seguinte manipulação algébrica:

$$ (2 \sqrt{xy} – y) – x \frac{dy}{dx} =0 \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} \sqrt{xy} – \frac{y}{x} \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = 2 \sqrt{\frac{xy}{x^2}} – \frac{y}{x} = 2 \sqrt{\frac{y}{x}} – \frac{y}{x}. $$

Fazendo novamente  u = \dfrac{y}{x} , obtemos $$ u + x \frac{du}{dx} = 2 \sqrt{u} – u,$$ que pode ser reescrita como $$ x \frac{du}{dx} = 2 \sqrt{u} – 2 u \Leftrightarrow \frac{du}{2 (\sqrt{u} – u)} = \frac{dx}{x} \Leftrightarrow  = \int{\frac{du}{2 (\sqrt{u} – u)}} = \int{ \frac{dx}{x} } .$$

Vamos calcular a integral \int{ \dfrac{du}{2 (\sqrt{u} - u)} } :

$$ \int{\frac{du}{2 (\sqrt{u} – u)}} = \int{\frac{du}{2 \sqrt{u}} \frac{1}{ (1 – \sqrt{u})}} . $$ Fazendo t = \sqrt{u} , como dt = \dfrac{du}{2 \sqrt{u}}

$$ \int{ \frac{du}{2 (\sqrt{u} – u)} } = \int{\frac{du}{2 \sqrt{u}} \frac{1}{ (1 – \sqrt{u})}} = \int{\frac{dt}{1 – t}} = \ln{| 1 -t |} + c = \ln{| 1 – \sqrt{u} |} + c .$$

Daí,

$$\int{\frac{du}{2 (\sqrt{u} – u)}} = \int{ \frac{dx}{x} } \Leftrightarrow \ln{| 1 – \sqrt{u} |} = \ln{|x|} + c \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \ln{\left| \sqrt{1 – \frac{y}{x}} \right| } = \ln{|x|} + c \Leftrightarrow  1 – \sqrt{\frac{y}{x}} = k x \Leftrightarrow y = x (1 – kx)^2.$$

Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s Homogêneas de Primeira Ordem

• EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

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