Função Degrau Unitário | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

A função degrau unitário é denotada por u(t-a) e dada por: $$u(t-a) = \left\{ \begin{array}{lll}
0 & ; & t<a\\
1& ; & t \geq a\\
\end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a \geq 0.$$ Observe que definimos a função degrau unitário somente para valores maiores do que zero de t, pois isso é suficiente para o estudo da Transformada de Laplace, mas num sentido mais amplo $$u(t-a) <0, \forall t<a.$$

Para uma função f definida para t\geq 0, considere a função g dada por $$g(t) = \left\{ \begin{array}{lll}
0 & ; & t<a\\
f(t-a)& ; & t\geq a\\
\end{array} \right.$$ que representa a translação de f a uma distância a$. Nos termos da função degrau unitário podemos escrever g(t) como $$g(t) = u(t-a)f(t-a).$$

Se f(t) possui a transformada F(s), então a função $$\widetilde{f}(t) = f(t-a)u(t-a) = \left\{ \begin{array}{lll}
0 & ; & t<a\\
f(t-a)& ; & t\geq a\\
\end{array} \right.$$
possui transformada dada por e^{-as}F(s). Ou seja, se \mathscr{L}\{ f(t) \} = F(s), então $$\mathscr{L}\{ f(t-a)u(t-a) \} = e^{-as} F(s).$$ Consequentemente, $$ f(t-a)u(t-a) = \mathscr{L}^{-1} \{e^{-as} F(s) \}.$$

Função Degrau Unitário | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Escreva as funções abaixo em termos da função degrau e encontre suas transformadas de Laplace:

a) f(t) = sen( 3 t); \;\;\; (0 \leq t \leq \pi)

Essa função pode ser escrita em termos da função degrau, usando a degrau inversa, como $$f(t) = sen(3t) [1-u(t- \pi)].$$

Daí, $$\mathscr{L} (f) = \mathscr{L} (sen(3t) [1-u(t- \pi)]) = \mathscr{L} (sen(3t)) -\mathscr{L} (sen(3t) u(t- \pi)]).$$

Para usar o Teorema da Translação, observe que devemos executar um ajuste da função sen(3t).

Usando a fórmula do seno na soma $$sen(a+3 \pi) = sen(a)cos(3 \pi) + sen(3 \pi) cos(a) = -sen(a),$$ temos que $$sen(3t) = sen(3t + 3\pi – 3\pi) = sen(3(t- \pi) +3 \pi) = -sen(3(t – \pi))$$

Assim, $$\mathscr{L} (f) = \mathscr{L} (sen(3t)) -\mathscr{L} (sen(3t) u(t- \pi)) = $$ $$= \mathscr{L} (sen(3t)) -\mathscr{L} (- sen(3(t- \pi)) u(t- \pi)) = \frac{3 +3 e^{- \pi t}}{s^2 + 9}.$$

b) g(t) = e^{t}; \;\;\; (t \leq 2)

Essa função pode ser escrita em termos da função degrau, usando a degrau inversa, como $$g(t) = e^{t} [1-u(t- 2)] = e^{t} – e^{t}u(t- 2).$$ Para usar o Teorema da Translação, observe que devemos executar o seguinte ajuste $$e^{t} = e^{t-2+2} =  e^2 e^{t-2},$$ então $$g(t) = e^{t} – e^{t}u(t- 2) = e^{t} – e^2 e^{t-2}u(t- 2) .$$ Desta forma, $$\mathscr{L}(g(t)) = \mathscr{L}( e^{t} – e^2 e^{t-2}u(t- 2) ) = \frac{1}{s-1}-e^2 e^{-2s}\frac{1}{s-1} = \frac{1-e^{2(1-s)}}{s-1}.$$

c) h(t) = 1-t^2; \;\;\; (0 < t < 3)

Essa função pode ser escrita em termos da função degrau, usando a degrau inversa, como $$g(t) = (1-t^2)[1-u(t-3)] = (1-t^2) – t^2 u(t-3). $$ Observe que, $$\mathscr{L}(g(t)) = \mathscr{L}((1-t^2) – t^2 u(t-3)) = \mathscr{L}((1-t^2)) – \mathscr{L}(t^2 u(t-3)) $$

Pela tabela, observamos que $$\mathscr{L}((1-t^2)) = \frac{1}{s} – \frac{2}{s^3}$$ e, como 1-t^2 = -[(t-3)^2 +6t+8] , um ajuste necessário para usar o Teorema da Translação, encontramos:

$$\mathscr{L}(g(t)) = \frac{1}{s} – \frac{2}{s^3} – \mathscr{L}(t^2 u(t-3)) =$$ $$= \frac{1}{s} – \frac{2}{s^3} – \mathscr{L}( -[(t-3)^2 +6t+8]u(t-3)) = \frac{1}{s} – \frac{2}{s^3} – e^{-3s} \left( \frac{2}{s^3} – \frac{6}{s^2} – \frac{8}{s} \right).$$

2) Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo:

a) f(t) = (t-2)^3 u(t-2)

Como a=2, seque do Teorema da Translação que $$F(s) = \mathscr{L} [(t-2)^3 u(t-2)] = e^{-2s} \mathscr{L} [t^3] = e^{-2s} \frac{3!}{s^4} = \frac{6 e^{-2s}}{s^4}.$$

b) f(t) = sen(t) u(t-2 \pi)

Como a=2 \pi , e a função seno é 2 \pi periódica, ou seja sen(t) = sen(t-2 \pi) , então, $$F(s) = \mathscr{L} [sen(t) u(t-2 \pi)] = \mathscr{L} [sen(t – 2 \pi) u(t-2 \pi)].$$ Seque do Teorema da Translação que $$F(s) = \mathscr{L} [sen(t – 2 \pi) u(t-2 \pi)] = e^{-2 \pi s} \mathscr{L} [sen(t)] = \frac{e^{-2 \pi s}}{s^2 +1}.$$

c) \mathscr{L} \left[(t-2)^3 u(t-2)  \right]

SOLUÇÃO: Como a=2, segue do teorema da Translação que $$ \mathscr{L} \left[(t-2)^3 u(t-2)  \right] = e^{-2s} \mathscr{L} \left[t^3 \right] = \frac{6e^{-2s}}{s^4} $$

3) Determine as Transformadas Inversas de F(s), sendo:

a) F(s) = \dfrac{se^{-s}}{s^2 +\omega ^2}

Observe que $$F(s) = \frac{se^{-s}}{s^2 +\omega ^2} = e^{-s} \frac{s}{s^2 +\omega ^2}.$$ Como $$ \mathscr{L}^{-1}\left(\frac{s}{s^2 +\omega ^2} \right) = cos(t)$$ e usando o Teorema da Translação, encontramos que $$ \mathscr{L}^{-1}\left(\frac{se^{-s}}{s^2 +\omega ^2} \right) = u(t-1)cos(t-1).$$

b) F(s) = s^{-2} - (s^{-2} +s^{-1})e^{-s}

Pela linearidade da Transforma de Laplace:

$$ \mathscr{L}^{-1}\left( s^{-2} – (s^{-2} +s^{-1})e^{-s} \right) = \mathscr{L}^{-1} \left( \frac{1}{s^2} \right) –  \mathscr{L}^{-1} \left(e^{-s} \frac{1}{s^2}\right) –  \mathscr{L}^{-1} \left(e^{-s} \frac{1}{s} \right) = $$  $$= t – (t-1) u(t-1) – u(t-1).$$

c) F(s) = \dfrac{e^{-2s}}{(s-1)(s+3)}

Usando Frações Parciais, obtemos: $$ \frac{e^{-2s}}{(s-1)(s+3)} = e^{-2s} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{s-1} –  \frac{1}{s+3} \right).$$

Observe que $$\mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{s-1} \right) = e^t \;\;\;e \;\;\; \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{s+3} \right) = e^{-3t}$$

Pela linearidade e o teorema da translação $$\mathscr{L}^{-1}\left( \frac{e^{-2s}}{(s-1)(s+3)} \right) = \frac{1}{4}u(t-2)e^{(t-2)} – \frac{1}{4} u(t-2) e^{-3(t-2)}$$

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