Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem: Ricatti e Bernoulli

Nesse artigo, queremos estudar dois casos especiais de EDO’s de primeira ordem não-lineares: as equações de Ricatti e de Bernoulli.

A equação diferencial na forma y'+p(x)y = f(x)y^n, onde n é um número real qualquer, é denominada equação de Bernoulli.

Já a equação diferencial na forma y' = p(x)+q(x)y+r(x)y^2 é conhecida como equação de Ricatti.

Em geral, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é representada por  \dfrac{dy}{dt}= f\left(t,y \right)
onde f é uma função nas variáveis t e y.

Nosso problema consiste em: Dada f\left(t,y \right), encontre funções y(t) que satisfaçam essa equação. O que garante a existência de tais soluções é o teorema da existência e unicidade de soluções para equações diferenciais de primeira ordem, que sob certas condições asseguram a existência de um intervalo que tal solução está definida.

Agora, vamos estudar um tipo específico de EDOs de primeira ordem: as EDOs de 1ª Ordem de Bernoulli e Ricatti.

Equação de Bernoulli:

QUEM FOI BERNOULLI?

Jacques Bernoulli foi um proeminente membro da família Bernoulli de matemáticos suíços. Ele introduziu os primeiros princípios do cálculo.

Em 1690 Bernoulli foi o primeiro a usar o termo integral na análise de uma curva de descida. Seu estudo de 1691 sobre a catenária , ou a curva formada por uma corrente suspensa entre suas duas extremidades, logo foi aplicada na construção de pontes suspensas. Em 1695, ele também aplicou cálculo ao projeto de pontes. Durante esses anos, ele freqüentemente se envolveu em disputas com seu irmão Johann Bernoulli sobre questões matemáticas.

O trabalho pioneiro de Jakob Bernoulli Ars Conjectandi (publicado postumamente, 1713; “A Arte de Conjecturar”) continha muitos de seus melhores conceitos: sua teoria de permutações e combinações; os chamados números de Bernoulli, pelos quais ele derivou a série exponencial; seu tratamento da previsibilidade matemática e moral ; e o assunto da probabilidade – contendo o que agora é chamado de lei de Bernoulli dos grandes números , básica para toda a teoria de amostragem moderna.

A EQUAÇÃO DE BERNOULLI?

A equação diferencial na forma y'+p(x)y = f(x)y^n, onde n é um número real qualquer, é denominada equação de Bernoulli.

Se y=0, a solução é imediata, mas, caso contrário, podemos reescrever a equação como y^{-n} y'+p(x)y^{1-n} = f(x) e fazer a mudança de variáveis w=y^{1-n}.

Pela regra da cadeia, w' = (1-n)y^{-n}y' e substituindo na equação original, ficamos com w' +(1-n)p(x)w = (1-n)f(x).

EXEMPLO: u' - u = xu^2

Essa EDO se encaixa no modelo de Bernoulli. Considerando $$p(x) = -1 ,\;\;\; f(x) = x,\;\;\; n=2,$$ obtemos a equação linear $$w’ +w = -x$$ que é uma EDO linear de primeira ordem e possui solução dada por $$w(x) = -x + 1 + c e^x .$$

De fato, usando a técnica de soluções de EDO lineares e a técnica de integração por partes, obtemos $$w’ +w = -x \Rightarrow e^x  w’ + e^x  w = -e^x  x \Rightarrow (e^x  w)’ = -e^x  x \Rightarrow $$ $$\Rightarrow e^x  w = – \int{e^x  x dx}  \Rightarrow w(x) = – e^{-x} \int{e^x  x dx} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow w(x) = – x + 1 +c e^{-x}. $$

Como na EDO de Bernoulli temos a substituição w = u^{1-n} = u^{-1}. Assim, $$u(t) = \frac{1}{- x + 1 +c e^{-x}}.$$

EXEMPLO: Resolva y'+\dfrac{1}{x}y = xy^2.

Temos que

• p(x) = \dfrac{1}{x}
• f(x) = x
• n=2

Neste, caso, nossa mudança de variáveis será w=y^{-1} que nos fornece a equação w'-\dfrac{1}{x}w = -x que pode ser solucionada pela técnica dos fatores integrantes, nos fornecendo a solução y=\dfrac{1}{-x^2+cx}.

EXEMPLO: y'+ (x+1)y = e^{x^2}y^3

Essa EDO se encaixa no modelo de Bernoulli. Considerando $$p(x) = (x+1),\;\;\; f(x) = e^{x^2},\;\;\; n=3,$$ obtemos a equação linear $$w’ -2(x+1)w = -2 e^{x^2}$$ que possui solução dada por $$w(x) = e^{x^2+2x} \left( e^{-2x} +c\right).$$ Como na EDO de Bernoulli temos a substituição w = y^{1-n} = y^{-2}. Assim, $$y(t) = \sqrt{e^{x^2+2x} \left( e^{-2x} +c\right)}.$$

Equação de Ricatti

QUEM FOI RICATTI?

Jacopo Francesco Riccati foi um matemático e físico italiano que efetuou trabalhos sobre hidráulica que foram muito importantes para a cidade de Veneza.

Considerou diversas classes de equações diferenciais mas é conhecido principalmente pela Equação de Riccati, da qual ele fez um elaborado estudo e deu soluções em alguns casos especiais.

A EQUAÇÃO DE RICATTI

A equação diferencial na forma y' = p(x)+q(x)y+r(x)y^2 é conhecida como equação de Ricatti.

Se y_1 é uma solução particular desta EDO, então as substituições y=y_1+u e y' = y_1'+u' nos dão a equação u'-(q+2y_1r)u=ru^2 que é uma equação de Bernoulli com n=2.

EXEMPLO: Resolva y' = 2-2xy+y^2.

Temos que

• p(x) = 2
• q(x) = -2x
• r(x) = 1

Facilmente podemos verificar que y_1 = 2x é uma solução particular da EDO.

Desta forma, pela substituição y = 2x+u obtemos u'-(2x)u = u^2 que é uma equação de Bernoulli com n=2.

Efetuando a substituição w=u^{-1}, encontramos w'+2xw=-1 que nos fornece uma solução y=2x+\dfrac{e^{x^2}}{c-\int_{x_0}^{x}{e^{t^2}dt}}

Listas de Exercícios Resolvidos Sobre EDOs de Bernoulli e Ricatti

Abaixo estão todas as nossas listas de exercícios resolvidos sobre EDOs de 1ª ordem de Ricatti e de Bernoulli. Basta clicar no link em azul e ser redirecionado para a página dos exercícios:

• EDO’s de Ricatti e de Bernoulli | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

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