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Neste artigo temos mais 6 exercícios resolvidos sobre Equações Diferenciais Lineares solucionadas via Transformada de Laplace, que estiveram na prova do 1º semestre de 2022.
Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.
Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f') = s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'') = s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) + s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) + s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.
Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 14ª Lista de Exercícios
1) Resolva as E.D.O.’s abaixo usando a Transformada de Laplace:
a) y'' -4 y' + 3y = e^{2t}, com y(0) = 0 e y'(0)=0.
SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s^2 Y – 4s Y +3Y = \frac{1}{s-2} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{1}{(s-2) \left( s^2 – 4s +3\right)} .$$
Usando frações parciais, encontramos $$Y(s) = \frac{1}{2\,\left( s-1\right) }-\frac{1}{s-2}+\frac{1}{2\,\left( s-3\right) }.$$ Daí, aplicando a transformada inversa de Laplace encontramos $$ y(t) = \frac{1}{2} \left[ e^{t}+e^{3t}\right] – e^{2t}$$
b) y'' + y' -2y = sen(3t), com y(0) = 0 e y'(0)=0;
SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s^2 Y +s Y -2Y = \frac{3}{s^2+9} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{3}{(s^2+9) \left( s^2 +s -2\right)} .$$
Usando frações parciais, encontramos $$Y(s) = -\frac{s+11}{130\,\left( {s}^{2}+9\right) }-\frac{1}{39\,\left( s+2\right) }+\frac{1}{30\,\left( s-1\right) } = \\ = -\frac{s}{130\,\left( {s}^{2}+9\right) }- \frac{11}{390} \frac{3}{\left( {s}^{2}+9\right) }-\frac{1}{39\,\left( s+2\right) }+\frac{1}{30\,\left( s-1\right) } ,$$ logo, aplicando a Transformada Inversa de Laplace, encontramos $$y(t) = -\frac{11\,\mathrm{sen}\left( 3\,t\right) }{390}-\frac{\mathrm{cos}\left( 3\,t\right) }{130}+\frac{{e}^{t}}{30}-\frac{{e}^{-2\,t}}{39} $$
c) y'' +2y' +2y = f(t) , com y(0) = 0 e y'(0)=1; ; onde $$f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1; & \pi \leq t < 2 \pi \\ 0; & \text{para os demais valores de t} \end{array} \right.$$
SOLUÇÃO: Primeiramente, vamos escrever a função f(t) em termos fa função degrau unitário. Como ela é a função pulso, então podemos escrever $$f(t) = u(t- \pi ) – u(t – 2 \pi).$$
Agora, aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s^2 Y -1 + 2s Y +2Y= \frac{e^{- \pi} – e^{- 2 \pi}}{s} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow Y(s) = \left[ e^{- \pi} – e^{- 2 \pi} \right] \frac{1}{s ( s^2+2s +2)} + \frac{1}{s^2+2s +2}.$$
Manipulando algebricamente e por frações parciais, encontramos: $$ Y(s) = \left[ e^{- \pi} – e^{- 2 \pi} \right] \left( \frac{1}{2\,s}-\frac{s+2}{2\,\left( {s}^{2}+2\,s+2\right) } \right) + \frac{1}{s^2+2s +2} = \\ = \frac{1}{2} \left[ e^{- \pi} – e^{- 2 \pi} \right] \left( \frac{1}{s} – \frac{s+1}{(s+1)^2 +1} – \frac{1}{(s+1)^2 +1} \right) + \frac{1}{(s+1)^2 +1}.$$
Observando que $$ \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{s+1}{(s+1)^2 +1} \right\} = e^{-t} \text{cos}(t) $$ $$ \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{(s+1)^2 +1} \right\} = e^{-t} \text{sen}(t) $$ e agora aplicando a Transformada Inversa de Laplace encontramos $$ y(t) = \frac{1}{2} \left\{ u(t- \pi) \left[ 1 – e^{ \pi -t} \left( \text{cos}(t-\pi) + \text{sen}(t-\pi) \right) \right] – \\ -u( t -2\pi) \left[ 1 – e^{ 2\pi – t} \left( \text{cos}(t-2\pi) + \text{sen}(t-2\pi) \right) \right] \right\} + e^{-t} \text{sen}(t).$$
d) y' + y = e^{2t}, com y(0) = 0;
SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s Y +Y = \frac{1}{s-2} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{1}{(s+1) (s-2)} .$$
Usando frações parciais, encontramos $$Y(s) = \frac{1}{3\,\left( s-2\right) }-\frac{1}{3\,\left( s+1\right) } ,$$ logo, aplicando a Transformada Inversa de Laplace, encontramos $$y(t) =\frac{{e}^{2\,t}}{3}-\frac{{e}^{-t}}{3}$$
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e) y'' +2y' +2y = \delta(t-\pi) , com y(0) = 1 e y'(0) = 0;
SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$s^2 Y-s+2(Y-1) +2Y = e^{-\pi s} \Leftrightarrow Y(s) = e^{-\pi s} \frac{1}{s^2+2s+2} +\frac{s+2}{s^2+2s+2} \\ Y(s) = e^{-\pi s} \frac{1}{(s+1)^2 +1} +\frac{s+2}{(s+1)^2 +1} \\ Y(s) = e^{-\pi s} \frac{1}{(s+1)^2 +1} +\frac{s+1}{(s+1)^2 +1} + \frac{1}{(s+1)^2 +1}.$$
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, encontramos $$y(t) =u(t – \pi)e^{\pi – t} \text{sen}(t – \pi ) + e^{-t}\text{cos}(t)+ e^{-t}\text{sen}(t)$$
2) Determine, usando a Transformada de Laplace, uma solução geral da equação $$ y” – a^2 y = 0, $$ com as condições iniciais y(0) = c_1 e y'(0) = c_2 . Em seguida, use esta solução geral encontrada para resolver o problema de valor inicial $$y” – \pi ^2 y = 0; \qquad y(0)=-1, y'(0) = \pi .$$
SOLUÇÃO: Aplicando a transformada de Laplace na equação y'' - a^2 y = 0, com as condições iniciais y(0) = c_1 e y'(0) = c_2 encontramos $$Y(s^2 – a^2) = c_1 s + c_2 $$ $$ Y(s) = c_1 \frac{s}{s^2 – a^2} + \frac{ c_2 }{a} \frac{a}{s^2 – a^2}.$$ Aplicando a Transformada de Laplace Inversa encontramos $$y(t) = c_1 \text{cosh}(at) + \frac{ c_2 }{a}\text{senh}(at).$$
Portanto, considerando a equação $$y” – \pi ^2 y = 0; \qquad y(0)=-1, y'(0) = \pi $$ temos $$ a = \pi \qquad c_1 = -1 \qquad \text{e} \qquad c_2 = \pi $$, portanto, sua solução seria $$y(t) = – \text{cosh}(\pi t) + \frac{ \pi }{\pi}\text{senh}(\pi t)$$ $$y(t) = \text{senh}(\pi t) – \text{cosh}(\pi t)$$
Listas de Exercícios
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
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