Coeficientes Indeterminados | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

O Método dos Coeficientes Indeterminados consiste em uma hipótese inicial sobre a forma da solução particular y_P (t) (mas com os coeficientes não especificados) da estrutura y(t) = y_{H}(t) + y_{P} (t), da equação y'' +by'+cy = f(t), que são EDO’s lineares, não-homogêneas com coeficientes constantes e f é definida e contínua em um intervalo I.

Daí substituímos a solução hipotética na EDO original e determinamos os coeficientes. Por fim, basta somarmos esta solução particular, y_P(t), com a solução da equação homogênea associada, y_H (t), que teremos uma solução geral para a EDO y'' + by'+cy = f(t).

Num primeiro momento, nossas funções f(t) serão apenas funções contínuas em todo o conjunto real, como:

• Trigonométricas;
• Exponenciais
• Polinômios;

Para ajudar a escolher uma foram geral de f(t), usamos a tabela abaixo:

Método dos Coeficientes Indeterminados | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

1. Calcule a solução das EDO’s lineares de 2ª ordem:

a) y'' - 9y = 54;

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' - 9y =0 e sua solução é dada por $$y_{h}{x} = c_1 e^{-3x} + c_2 e^{3x}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(x) = A e substituindo na EDO encontramos: A = -6. Logo y_{p}(x) = - 6 . Portanto, a solução geral desta equação será dada pop $$ y(x) = c_1 e^{-3x} + c_2 e^{3x}  – 6.$$

b) y'' + 3y' = 4x - 5;

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' + 3y' =0 e sua solução é dada por $$y_{h}{x} = c_1 + c_2 e^{-3x}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(x) = Ax^2 + Bx , pois a equação não possui o termo c y e substituindo na EDO encontramos: A = 1/3 e  B = - 5/3 . Logo y_{p}(x) = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{3} x . Portanto, a solução geral desta equação será dada pop $$ y(x) = c_1 + c_2 e^{-3x}+ \frac{1}{3} x^2 – \frac{5}{3} x.$$

OBSERVAÇÃO: Esta EDO poderia ser resolvida também usando a mudança de variável y' = u que a transformará na EDO linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método adequado para este tipo de equação. Assim que encontrar a solução u(x) basta calcular y(x) = \int{u(x)dx} que você obterá a mesma solução que achamos pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.

c) y'' + 8y' = e^{5x} ;

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' + 8y'=0 e sua solução é dada por $$y_{h}{x} = c_1 + c_2 e^{-8x}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(x) = Ae^{5x} e substituindo na EDO encontramos: A = 1/30. Logo y_{p}(x) = \dfrac{1}{30} e^{5x}. Portanto, a solução geral desta equação será dada por $$ y(x) = c_1 + c_2 e^{-8x} + \frac{1}{30} e^{5x}.$$

OBSERVAÇÃO: Esta EDO também poderia ser resolvida também usando a mudança de variável y' = u que a transformará na EDO linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método adequado para este tipo de equação. Assim que encontrar a solução u(x) basta calcular y(x) = \int{u(x)dx} que você obterá a mesma solução que achamos pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.

d) y'' + 3y' + 2y = 3t;

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' + 3y' + 2y =0 e sua solução é dada por $$y_{h}{t} = c_1 e^{-t}+ c_2 e^{-2t}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(t) = A t+ B e substituindo na EDO encontramos: $$A = 3/2; B = -9/4 $$ Logo y_{p}(t) = \dfrac{3}{2} t - \dfrac{9}{4} . Portanto, $$ y(t) = c_1 e^{-t}+ c_2 e^{-2t} + \frac{3}{2} t – \frac{9}{4}.$$

e) y'' - 2y' + y = e^{x};

SOLUÇÃO: A solução da equação homogênea associada y'' - 2y' + y = 0 é facilmente encontrada como $$y_h(x) = c_1 e^{x} + c_2 x e^{x} . $$ Observe que neste caso o termo e^{x} pode ser colocado em evidência nesta solução e ele aparece na equação não homogênea. Por isso, uma solução particular y_p (x) = A e^{x} não funciona. Também não conseguimos encontrar uma solução particular com a forma  y_p (x) = A x e^{x} , pois o termo x e^{x} aparece na solução da equação homogênea associada. Neste caso, precisaremos escolher y_p (x) = A x^2 e^{x} e substituindo na equação diferencial dada, obtemos, $$ 2 A e^{x} = e^{x}; \qquad \text{ o que nos leva a } A = \frac{1}{2}.$$ Logo, a solução particular que buscamos é dada por $$ y_p (x) = \frac{1}{2} x^2 e^{x} .$$ Portanto a solução geral desta equação será dada por $$ y(x) = c_1 e^{x} + c_2 x e^{x} + \frac{1}{2} x^2 e^{x}.$$

f) y'' - 2y' = e^x sen(x);

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' - 2y' =0 e sua solução é dada por $$y_{h}{x} = c_1 + c_2 e^{x}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(x) = A e^x sen(x) + B e^x cos(x) e substituindo na EDO encontramos: $$A = -1/2; B = 0 $$ Logo y_{p}(x) = - \dfrac{1}{2} e^x sen(x) . Portanto, a solução geral desta equação será dada pop $$ y(x) = c_1 + c_2 e^{x} – \frac{1}{2} e^x sen(x).$$

OBSERVAÇÃO: Uma observação interessante é que esta EDO poderia ser resolvida também usando a mudança de variável y' = u que a transformará na EDO linear de primeira ordem u' - 2 u = e^x sen(x) e pode ser resolvida usando o método adequado para este tipo de equação. Assim que encontrar a solução u(x) basta calcular y(x) = \int{u(x)dx} que você obterá a mesma solução que achamos pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.

g) y'' - 2y' +3y = x^3 + sen(x);

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' - 2y' +3y =0 e sua solução é dada por $$y_{h}{x} = e^{x} \left( c_1 cos{\left[ \sqrt{2} x \right)}+ c_2 sen{\left( \sqrt{2} x \right)}\right].$$ A solução particular será na forma $$ y_{p}(x) = A x^3 + B x^2 + Cx + E +F sen(x) + G cos(x)$$ e substituindo na EDO encontramos: $$A = 1/3; B = 2/3; C = 2/9; E = -8/27; \text{ e } F = G = 1/4. $$ Logo y_{p}(x) = \dfrac{1}{3} x^3 + \dfrac{2}{3} x^2 + \dfrac{2}{9}x - \dfrac{8}{27} +\dfrac{1}{4} sen(x) + \dfrac{1}{4} cos(x). Portanto, a solução geral desta equação será dada pop $$ y(x) =e^{x} \left( c_1 cos{\left[ \sqrt{2} x \right)}+ c_2 sen{\left( \sqrt{2} x \right)}\right] – \\ – \frac{1}{2} e^x sen(x)  \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{3} x^2 + \frac{2}{9}x – \frac{8}{27} +\frac{1}{4} sen(x) + \frac{1}{4} cos(x).$$

h) y'' - 4y'+4y = x^3e^{2x}+ x e^{2x};

SOLUÇÃO: Neste caso, a solução da equação homogênea associada é dada por $$ y_h (x) = c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x}$$ e como o termo e^{2x} é uma parte do termo independente da equação que queremos resolver, correspondendo a uma raiz de multiplicidades dois, devemos considerar $$y_p (x) = e^{2x} \left( A x^5 + Bx^4 + Cx^3 + Ex^2  \right).$$ Note que os termos F x e^{2x} e H e^{2x} não foram incluídos pois eles estão na solução da equação homogênea associada. Substituindo y_p (x) na equação encontramos $$ A = 1/20; B = 0; C = 1/6; E = 0.$$ Logo, $$y_p (x) = e^{2x} \left( \frac{1}{20} x^5 + \frac{1}{6}x^3 \right).$$ e a solução geral é dada por $$ y(x) = c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x} + e^{2x} \left( \frac{1}{20} x^5 + \frac{1}{6}x^3 \right).$$

i) y'' - y = 8te^t + 2 e^t ;

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' - y =0 e sua solução é dada por $$y_{h}{t} = c_1 e^{-t}+ c_2 e^{t}.$$ Assim, uma solução particular da EDO para não gerar uma combinação linear com as soluções particulares da equação homogênea associada será na forma $$ y_{p}(t) = t \left( At + B \right) e^{t} = \left( At^2 + Bt \right) e^{t}$$ e substituindo na EDO encontramos: $$A = 2 \text{ e } B = -1 $$ Logo y_{p}(t) = \left( 2t^2 - t \right) e^{t} . Portanto, $$ y(t) = c_1 e^{-t}+ c_2 e^{t} + \left( 2t^2 – t \right) e^{t}.$$

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• Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem, Homogêneas, com Coeficientes Constantes
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