Transformada de Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

Se f(t) é uma função definida para todo t \geq 0, sua Transformada de Laplace é uma função na variável s, chamada de F(s) e denotada por \mathscr{L} (f) é dada pela integral F(s) = \mathscr{L} (f) = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt} = \lim_{T \rightarrow \infty}{\int_{0}^{T}{e^{-st}f(t)dt}}. A função dada f(t) é denominada de transformada inversa de F(s) e é denotada por \mathscr{L}^{-1} (F), ou seja, f(t) = \mathscr{L}^{-1} (F(s)).

5ª Lista de Exercícios Resolvidos sobre Transformada de Laplace

Na solução dos exercícios abaixo usamos as integrais tabeladas dadas abaixo. Para uma tabela mais completa sobre a Transformada de Laplace, confira este nosso artigo.

1) Calcule as Transformadas Inversas abaixo:

a) \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{s+5}{s^2 +2s +5} \right)

SOLUÇÃO: Observe que $$\frac{s+5}{s^2 +2s +5} = \frac{s+5}{(s+1)^2 + 2^2} = $$ $$ = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 2^2} + 2 \frac{2}{(s+1)^2 + 2^2}$$ e usando a tabela de transformada de Laplace encontramos $$ \mathscr{L}^{-1} \left( \frac{s+5}{s^2 +2s +5} \right) = e^{-t}cos(2t)+2 e^{-t}sen(2t).$$

b) \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{s+1}{s^3 +s^2-6s} \right)

SOLUÇÃO: Usando frações parciais escrevemos $$ \frac{s+1}{s^3 +s^2-6s} = \frac{s+1}{s(s-2)(s+3)} = -\frac{1}{6} \frac{1}{s} + \frac{3}{10} \frac{1}{s-2} – \frac{2}{15} \frac{1}{s+3}$$ e aplicando a Transformada de Laplace inversa $$ \mathscr{L}^{-1} \left( \frac{s+1}{s^3 +s^2-6s} \right) = -\frac{1}{6} + \frac{3}{10}e^{2t} – \frac{2}{15} e^{-3t} .$$

c) \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{s+2}{s^5 -2s^4 + s^3} \right)

SOLUÇÃO: Usando frações parciais escrevemos $$ \frac{s+2}{s^5 -2s^4 + s^3} = \frac{s+1}{s^3(s-1)^2} = 2 \frac{1}{s^3} + 5 \frac{1}{s^2}+ 8 \frac{1}{s} + \frac{3}{(s-1)^2} – 8\frac{1}{(s-1)}  $$ e aplicando a Transformada de Laplace inversa $$ \mathscr{L}^{-1} \left( \frac{s+2}{s^5 -2s^4 + s^3}\right) = t^2 +5t+8+(3t-8)e^{t}.$$

d) \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{s^2 - 4s +5}{(s-1)^3} \right)

SOLUÇÃO: Frações Parciais nos levam a $$ \frac{s^2-4s+5}{(s-1)^3} = \frac{2}{(s-1)^3}- \frac{2}{(s-1)^2} + \frac{1}{s-1}.$$ Aplicando a Transformada de Laplace Inversa e usando a tabela dada neste artigo encontramos como solução $$\mathscr{L}^{-1} \left( \frac{s^2 – 4s +5}{(s-1)^3} \right) = (t-1)^2 e^{t}$$.

e) \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{s^3 + 7s^2 + 16s +12}{\left( s^2 + 2s + 2 \right)^2} \right)

SOLUÇÃO: Usando Frações Parciais, encontramos $$ \frac{s^3 + 7s^2 + 16s +12}{\left( s^2 + 2s + 2 \right)^2} = \frac{s+5}{s^2 + 2s + 2 } + \frac{4s+2}{\left( s^2 + 2s + 2 \right)^2}$$ e manipulando algebricamente encontramos $$ \frac{s^3 + 7s^2 + 16s +12}{\left( s^2 + 2s + 2 \right)^2} = \frac{s+1}{(s+1)^2+1 } + 4 \frac{1}{(s+1)^2+1} + \\ + 4\frac{s+1}{\left[ (s+1)^2+1 \right]^2}- \frac{2}{\left[ (s+1)^2+1 \right]^2}$$ Aplicando a Transformada de Laplace Inversa e usando a tabela dada neste artigo encontramos como solução $$\mathscr{L}^{-1} \left( \frac{s^3 + 7s^2 + 16s +12}{\left( s^2 + 2s + 2 \right)^2} \right) =  e^{-t}[ (t+1)cos(t)+(2t+3)sen(t) ].$$

f) \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{s^4 - 7s^3 + 13 s^2 + 4s -12}{s^2(s-3)(s^2-3s+2) } \right)

SOLUÇÃO: Usando frações parciais podemos escrever $$ \frac{s^4-7s^3+13s^2+4s-12}{s^2 (s-3)(s^2-3s+2)} = \frac{2}{s^2}+ \frac{3}{s}+\frac{1/2}{s-3}-\frac{2}{s-2} -\frac{1/2}{s-1}$$ e usando a tabela de transformada de Laplace inversa encontramos $$f(t) = 2t+3+\frac{1}{2} e^{3t} – 2 e^{2t} – \frac{1}{2}e^t.$$

g) \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{1 - e^{-s}}{s(s+1)(s+2)} \right)

SOLUÇÃO: Observe que $$Y(s) = \frac{1 – e^{-s}}{s(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s(s+1)(s+2)} – e^{-s} \frac{1}{s(s+1)(s+2)}.$$

Agora precisamos encontrar $$ \mathscr{L} ^{-1} \left( F(s) \right)  = \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{s(s+1)(s+2)} \right)$$ para usar o teorema da Translação. Usando frações parciais, encontramos $$ f(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left( F(s) \right) = \frac{1}{2}-e^{-t}+ \frac{1}{2}e^{2t}.$$

Portanto, $$ \mathscr{L}^{-1} \left( \frac{1 – e^{-s}}{s(s+1)(s+2)} \right)= \frac{1}{2}-e^{-t}+ \frac{1}{2}e^{2t} – \left[ \frac{1}{2}-e^{-(t-1)}+ \frac{1}{2}e^{2(t-1)} \right] u(t-1)$$

2) Encontre as transformadas de Laplace

a) \mathscr{L} \left( t^3 e{-2t} \right)

SOLUÇÃO: Usando a propriedade do deslocamento na frequência $$ \mathscr{L} \left( t^3 e{-2t} \right) = \frac{6}{{\left( s+2\right) }^{4}}.$$

b) \mathscr{L} \left( e^t sen(3t) \right)

SOLUÇÃO: Usando a propriedade do deslocamento na frequência $$ \mathscr{L} \left( e^t sen(3t) \right) = \frac{3}{{s}^{2}-2\,s+10}.$$

c) \mathscr{L} \left( t \left[e^t + e^{2t}\right]^2 \right)

SOLUÇÃO: Expandindo o termo quadrático, usando a linearidade e a propriedade do deslocamento na frequência $$ \mathscr{L} \left( t \left[e^t + e^{2t}\right]^2 \right) = -\frac{2}{{s}^{2}-5\,s+6}+\frac{{\left( 2\,s-5\right) }^{2}}{{\left( {s}^{2}-5\,s+6\right) }^{2}}- \\ -\frac{2}{{s}^{2}-7\,s+12}+\frac{{\left( 2\,s-7\right) }^{2}}{{\left( {s}^{2}-7\,s+12\right) }^{2}} = \\ = \frac{4\,{s}^{4}-48\,{s}^{3}+214\,{s}^{2}-420\,s+308}{{s}^{6}-18\,{s}^{5}+133\,{s}^{4}-516\,{s}^{3}+1108\,{s}^{2}-1248\,s+576}.$$

d) \mathscr{L} \left( (t-1)u(t-1) \right)

SOLUÇÃO: Usando o Teorema da Translação \mathscr{L} \left( (t-1)u(t-1) \right) = \frac{e^{-s}}{s^2} .

e) \mathscr{L} \left( t u(t-2) \right)

SOLUÇÃO: Observando que t u(t-2) = (t-2) u(t-2) + 2 u(t-2) e aplicando a transformada de Laplace, usando o teorema da translação, encontramos $$ \mathscr{L} \left( t u(t-2) \right) = \frac{e^{-2s}}{s^2} + \frac{e^{-2s} }{s}.$$

f) \mathscr{L} \left( cos(2t) u(t - \pi ) \right)

SOLUÇÃO: Observando que a função cosseno tem período igual a 2 \pi , podemos afirmar que \cos(2t) = \cos(2t - 2 \pi) = \cos(2[t - \pi]) , ou seja,  $$\mathscr{L} \left( cos(2t) u(t – \pi ) \right) = \mathscr{L} \left( cos(2[t – \pi]) u(t – \pi ) \right) = \frac{se^{ -\pi s}}{s^2 + 4}.$$

g) \mathscr{L} \left( (t-1)^3 e^{t-1} u(t-1) \right)

SOLUÇÃO: Observe que $$ \mathscr{L} \left( t^3 e^{t} \right) = \frac{6}{{\left( s-1\right) }^{4}}.$$ Ou seja, queremos a transformada da translação desta função em a= 1, logo, $$\mathscr{L} \left( (t-1)^3 e^{t-1} u(t-1) \right) = \frac{6e^{-s}}{{\left( s-2\right) }^{4}}.$$

h) \mathscr{L} \left( t^2 * t^4 \right)

SOLUÇÃO: \mathscr{L} \left( t^2 * t^4 \right) = \dfrac{2}{s^3} \dfrac{4!}{s^5} = \dfrac{48}{s^8}

i) \mathscr{L} \left( \delta\left( t - \dfrac{ \pi }{2} \right) + \delta\left( t - \dfrac{3 \pi }{2} \right) \right)

SOLUÇÃO:  \mathscr{L} \left( \delta\left( t - \dfrac{ \pi }{2} \right) + \delta\left( t - \dfrac{3 \pi }{2} \right) \right) = e^{\pi /2 }+ e^{3 \pi / 2 }.

Listas de Exercícios Resolvidos:

• Transformada de Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Transformada de Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Transformada de Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Transformada de Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

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