EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma quarta lista de exercícios resolvidos sobre EDO’s de primeira ordem exatas. Uma equação diferencial da forma $$M(x,y) dx+N(x,y)dy=0$$ é chamada de equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Pode-se mostrar que a equação M(t,y)+N(t,y)y'=0, é uma EDO exata em R se, e somente se, M_y (t,y)=N_t (t,y) em cada ponto de R.

Se a EDO é exata, então podemos afirmar que existe uma função \psi tal que \psi (t,y) = c é uma solução implícita desta EDO exata e \dfrac{\partial \psi}{ \partial t}(t,y)=M(t,y),\;\;\;\dfrac{ \partial \psi}{ \partial y}(t,y)=N(t,y) se, e só se, M_y (t,y)=N_t (t,y).

Algumas vezes é possível transformar uma EDO não-exata em uma EDO exata multiplicando a equação por um fator integrante apropriado. Para que este fator integrante \mu (t) exista para uma EDO não-exata na forma M(t,y)+N(t,y)y'=0, é necessário que \dfrac{d\mu}{dt}=\dfrac{M_y - N_t}{N} \mu. Se \dfrac{M_y - N_t}{N} depende apenas de t, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de t. Analogamente, se \dfrac{N_t - M_y}{M} depende apenas de y, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de y.

EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Calcule a solução das EDOs exatas de primeira ordem abaixo:

a) \left( 4x^3 y^3 \; - \; 2xy \right)dx + \left( 3x^4 y^2 - x^2 \right) dy = 0

SOLUÇÃO: Observe que $$ \frac{ \partial M }{ \partial y } = 12 x^3 y^2 – 2x = \frac{ \partial N }{ \partial x } $$ nos garante que esta é uma equação diferencial exata. Logo, existe uma função \Psi (x,y) , tal que \Psi (x,y) = c é uma solução implícita da EDO e $$ \frac{ \partial \Psi }{ \partial x } = 4x^3 y^3 \; – \; 2xy \qquad e \qquad \frac{ \partial \Psi }{ \partial y } = 3x^4 y^2 – x^2 .$$ Daí, encontramos que $$ \Psi (x,y) = x^4 y^3 – x^2y$$ ou seja, $$ x^4 y^3 – x^2y = c$$ é solução implícita da nossa equação.

b) \left( cos(y) +y cos(x) \right) dx + \left( sen(x) - x sen(y) \right) dy = 0

SOLUÇÃO: Observe que $$ \frac{ \partial M }{ \partial y } = -sen(y) + cos(x) = \frac{ \partial N }{ \partial x } $$ nos garante que esta é uma equação diferencial exata. Logo, existe uma função \Psi (x,y) , tal que \Psi (x,y) = c é uma solução implícita da EDO e $$ \frac{ \partial \Psi }{ \partial x } = cos(y) +y cos(x) \qquad e \qquad \frac{ \partial \Psi }{ \partial y } = sen(x) – x sen(y) .$$ Daí, encontramos que $$ \Psi (x,y) = x cos(y) + y sen(x)$$ ou seja, $$ x cos(y) + y sen(x) = c$$ é solução implícita da nossa equação.

c) \left( x^2 + y^2 +x \right) dx + xy dy = 0

SOLUÇÃO: Observe que $$ \frac{ \partial M }{ \partial y } =2y \neq y = \frac{ \partial N }{ \partial x } $$, logo esta não é uma equação diferencial exata. Vamos tentar encontrar um fator integrante.

Note que $$ \frac{M_y – N_x}{N} = \frac{2y – y }{xy} = \frac{1}{x} $$ depende apenas da variável x . Assim, poderemos encontrar um fator integrante resolvendo a EDO separável $$\frac{d\mu}{dx}=\frac{1}{x} \mu $$ donde obtemos $$\mu (x) = x $$.

Multiplicando este fator integrante na EDO encontramos a nova equação, $$\left( x^3 + x y^2 +x^2 \right) dx + x^2y dy = 0$$ que será exata e terá solução dada implicitamente por $$3x^4 +4x^3+6x^2y^2 = c.$$

d) \left( x^4 + y^4  \right) dx + xy^3 dy = 0

SOLUÇÃO: Observe que $$ \frac{ \partial M }{ \partial y } =4y^3 \neq y^3 = \frac{ \partial N }{ \partial x } $$, logo esta não é uma equação diferencial exata. Vamos tentar encontrar um fator integrante. Note que $$ \frac{M_y – N_x}{N} = \frac{4y^3 – y^3 }{xy^3} = \frac{3}{x} $$ depende apenas da variável x . Assim, poderemos encontrar um fator integrante resolvendo a EDO separável $$\frac{d\mu}{dx}=\frac{3}{x} \mu $$ donde obtemos $$\mu (x) = x^3 $$.

Multiplicando este fator integrante na EDO encontramos a nova equação $$ \left( x^7 + x^3y^4  \right) dx + x^4y^3 dy = 0 $$ que será exata e terá solução dada implicitamente por $$y^4 = 4x^4 \ln{(x)} + c x^4.$$

2) Se a equação M(x,y) dx + N(x,y) dy = y f_{1}(xy) dc + x f_2(xy) dy = 0 , então \dfrac{1}{M_{x} - N_{y}}, com M_{x} - N_{y} não identicamente nulo, é um fator integrantes da equação. Sabendo disso, encontre a solução da equação $$ \left( 2xy^2 + y \right) dx + \left(x + 2xy – x^4 y^3 \right)dy = 0 .$$

SOLUÇÃO: Observe que nossa equação não é exata, mas como pode ser escrita na forma $$y \left( 2xy + 1 \right) dx + x \left(1 + 2y – x^3 y^3 \right) dy = 0$$ podemos afirmar que ela admite um fator integrante na forma \dfrac{1}{M_{x} - N_{y}} = \dfrac{1}{x^4 y^4} .

Com este fator integração a equação se transforma em $$ \left( \frac{2}{x^3 y^2} + \frac{1}{x^4y^3}  \right) dx + \left( \frac{1}{x^3 y^4} + \frac{2}{x^2 y^3} – \frac{1}{y} \right) dy = 0$$ e é uma equação diferencial exata que terá solução encontrada usando a técnica para EDOs exatas e será dada implicitamente por $$ – \ln{(y)} – \frac{1}{x^2 y^2} – \frac{1}{x^3 y^3} = c.$$

3) Encontre um fator integrante para a EDO $$ x \left( 4y dx + 2x dy \right) + y^3\left(3y dx + 5x dy \right) = 0 $$ assumindo que ele seja na forma x^{ \alpha } y^{ \beta } . Em seguida, encontre sua solução geral.

SOLUÇÃO: Admitamos que multiplicando a equação dada por x^{ \alpha } y^{ \beta} tenhamos a equação $$ \left( 4 x^{ \alpha +1 } y ^{ \beta +1 } dx + 2 x^{ \alpha +2} y ^{ \beta} dy \right) + \left( 3x^{ \alpha} y^{ \beta +4 } dx + 5x^{ \alpha +1 } y^{ \beta +3 } dy \right) = 0 \tag{A}$$ em que cada dois termos seja uma diferencial exata. Então o primeiro termo de (A) é proporcional a $$d \left( x^{ \alpha + 2} y^{ \beta +1} \right) = ( \alpha +2 )x ^{ \alpha + 1} y^{ \beta +1} dx + ( \beta + 1 )x^{ \alpha + 2} y^{ \beta} dy, \tag{B} $$ isto é, $$\frac{\alpha +2}{3} = \frac{\beta +1}{2} \qquad e \qquad \alpha – 2 \beta = 0 \tag{C} .$$

Do mesmo modo, o segundo termo de (A) é proporcional a $$d \left( x^{ \alpha + 1} y^{ \beta +4} \right) = ( \alpha +1 )x ^{ \alpha} y^{ \beta + 4} dx + ( \beta + 4 ) x^{ \alpha + 1} y^{ \beta +3} dy, \tag{D} $$ isto é, $$\frac{\alpha +1}{3} = \frac{\beta +4}{5} \qquad e \qquad 5 \alpha – 3 \beta = 7 \tag{E} .$$

Resolvendo o sistema $$ \alpha – 2 \beta = 0$$ $$5 \alpha – 3 \beta = 7$$ encontramos \alpha = 2 e \beta = 1 . COm estes valores, a equação (A) se transforma em $$(4x^3 y^2 dx + 2 x^4 y dy) + (3x^2 y^5 dx + 5x^3 y^4 dy) = 0$$ que é uma EDO exata tem solução dada por $$x^4 y^2 + x^3 y^5 = C .$$

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