Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma primeira lista de exercícios resolvidos sobre o Método da Variação dos parâmetros para E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem. O método da variação dos parâmetros foi idealizado pelo matemático francês Lagrange e pode ser visto como uma continuidade do método dos coeficientes indeterminados. Este método nos dá uma solução particular da equação y''+ p(t)y'+q(t)y=g(t), uma vez que são conhecidas soluções da equação homogênea y''+ p(t)y'+q(t)y=0.

A idéia crucial é substituir as constantes c_1 e c_2 na equação y(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t) por funções u_1 (t) e u_2 (t). Assim, y(t) = u_1 (t) y_1(t) +u_2 (t) y_2(t). Agora, determinamos y' e y'' e substituímos ambos na equação não homogênea.

Assim, chegaremos a uma solução particular da EDO não-homogênea é dada por \psi(t) = -y_1(t) \int{\dfrac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\dfrac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt, e a solução geral será dada por y=c_1y_1(t) + c_2 y_2 (t)+\psi (t).

1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre o Método da Variação dos Parâmetros:

1) Resolva as EDOs abaixo:

(a) y'' + y = 3\sin{2t} + t \cos{2t}

Primeiramente vamos encontrar a solução da equação homogênea associada y'' + y = 0:

$$y” + y= 0 \Rightarrow \lambda ^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda _1 =i\;\;e\;\; \lambda _2 = -i.$$

Logo, $$y_{H} (t) = c_1 cos(t) + c_2 sen(t).$$

Nesse caso, tomamos y_1(t) = cos(t) e y_2(t) = sen(t) e facilmente podemos ver que W \left( y_1 , y_2 \right) = 1 .

Agora, usando o Método da variação dos parâmetros,

$$y_p (t) = -cos(t) \int{\left(3sen(2t) sen(t) + tsen(t) cos(2t)\right)dt} + $$ $$+sen(t) \int{\left(3 sen(2t) cos(t) + t cos(2t)cos(t) \right) dt}. $$

Para resolver essas duas integrais iremos separá-las em quatro integrais após usar as relações trigonométricas $$sen(x)cos(y) = \frac{1}{2} [sen(x+y) + sen(x-y)]$$ $$cos(x)cos(y) = \frac{1}{2} [cos(x+y) + cos(x-y)]$$ $$sen(x)sen(y) = -\frac{1}{2} [cos(x-y) – cos(x+y)]$$. Usando integração por substituição e integração por partes quando necessário encontraremos $$y{p}(t) = \frac{-17\,\mathrm{sin}\left( 4\,t\right) +\left( -3\,t-18\right) \,\mathrm{cos}\left( 4\,t\right) +175\,\mathrm{sin}\left( 2\,t\right) +\left( -57\,t-18\right) \,\mathrm{cos}\left( 2\,t\right) }{72} +$$ $$+ \frac{108\,\mathrm{sin}\left( t\right) +144\,\mathrm{sen}\left( t\right) \,\mathrm{cos}\left( t\right) +36\,t}{72}$$

Portanto, $$y(t) = c_1 cos(t) + c_2 sen(t) + $$ $$+ \frac{-17\,\mathrm{sin}\left( 4\,t\right) +\left( -3\,t-18\right) \,\mathrm{cos}\left( 4\,t\right) +175\,\mathrm{sin}\left( 2\,t\right) +\left( -57\,t-18\right) \,\mathrm{cos}\left( 2\,t\right) }{72} +$$ $$+ \frac{108\,\mathrm{sin}\left( t\right) +144\,\mathrm{sen}\left( t\right) \,\mathrm{cos}\left( t\right) +36\,t}{72}$$

(b) y'' - 2y' + y = \dfrac{e^t}{1+t^2}

Primeiramente vamos encontrar a solução da equação homogênea associada y'' - 2y' + y = 0:

$$y” – 2y’ + y= 0 \Rightarrow \lambda ^2  – 2 \lambda + 1= (\lambda -1) ^2 = 0 \Rightarrow \lambda _1 = \lambda _2 = 1.$$

Logo, $$y_{H} (t) = c_1 e^{t} + c_2 t e^{t}.$$

Nesse caso, tomamos y_1(t) = e^{t} e y_2(t) = t e^{t} e facilmente podemos ver que W \left( y_1 , y_2 \right) = e^{2t} .

Agora, usando o Método da variação dos parâmetros,

$$y_{p} (t) = -e^{t} \int{\frac{t}{1+t^2} dt} + t e^{t} \int{\frac{1}{1+t^2} dt} = \frac{-e{t}}{2} \ln{(t^2 +1)} + t e^t arctg(t).$$

Portanto, $$y(t) = c_1 e^{t} + c_2 t e^{t} + \frac{-e{t}}{2} \ln{(t^2 +1)} + t e^t arctg(t).$$

(c) y'' - 3y'+2y = \sqrt{t+1}

Primeiramente vamos encontrar a solução da equação homogênea associada y'' - 3y'+2y = 0:

$$y” – 3y’+2y= 0 \Rightarrow \lambda ^2 – 3 \lambda +2 = 0 \Rightarrow \lambda _1 = 2\;\;e\;\; \lambda _2 = 1.$$

Logo, $$y_{H} (t) = c_1 e^{2t} + c_2 e^{t}.$$

Nesse caso, tomamos y_1(t) = e^{2t} e y_2(t) = e^{t} e facilmente podemos ver que W \left( y_1 , y_2 \right) = -e^{t} .

Agora, usando o Método da variação dos parâmetros,

$$y_{p} (t) = -e^{2t} \int{ – \sqrt{t+1}  dt} + e^{t} \int{- e^t \sqrt{t+1} dt} = \frac{2}{3} e^{2t} \sqrt{(t+1)^3} – e^{t} \int{ e^t \sqrt{t+1} dt}.$$

A segunda integral tem solução ligada à Função Erro, \mathrm{erf}\left( x \right)  . Logo,

$$y_{p} (t) = -e^{2t} \int{ – \sqrt{t+1}  dt} + e^{t} \int{- e^t \sqrt{t+1} dt} = $$ $$= \frac{2}{3} e^{2t} \sqrt{(t+1)^3} – e^{t} \left( \frac{\sqrt{t}\,{e}^{t}}{2}+\frac{\sqrt{\pi }\,i\,\mathrm{erf}\left( i\,\sqrt{t}\right) }{4}\right).$$

Portanto, $$y(t) = c_1 e^{2t} + c_2 e^{t} + \frac{2}{3} e^{2t} \sqrt{(t+1)^3} – e^{t} \left( \frac{\sqrt{t}\,{e}^{t}}{2}+\frac{\sqrt{\pi }\,i\,\mathrm{erf}\left( i\,\sqrt{t}\right) }{4}\right).$$

Observação: \int{ e^t \sqrt{t+1} dt} = \left( \dfrac{\sqrt{t}\,{e}^{t}}{2}+\dfrac{\sqrt{\pi }\,i\,\mathrm{erf}\left( i\,\sqrt{t}\right) }{4}\right) , onde $$\mathrm{erf}\left( x\right)  = \frac{1}{\sqrt{ \pi}} \int_{0}^{x}{e^{-y^{2}} dy}.$$

A função \mathrm{erf}\left( x \right)  foi objeto de estudo de matemáticos como De Moivre (1718-1733) e Laplace (1774), onde foi expressa através da  integral $$\int{e^{-x^{2}}dx}.$$

A integral de probabilidade foi assim chamada porque é amplamente utilizada na teoria da probabilidade e estatística, aparecendo também em equações diferenciais.

Posteriormente ela foi estendida para a Função Erro de Gauss, que foi desenvolvida para calcular a integral da distribuição normal, e em 1809, Gauss usou esta função para analisar dados astronômicos.

Saiba Mais: A Função Erro de Gauss ou Integral de Probabilidade

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