A Equação e as Funções de Bessel | Solução de E.D.O.’s Por Séries

A Equação de Bessel é uma E.D.O. de 2ª Ordem que aparece em estudos avançados de matemática aplicada na física e na engenharia. Neste artigo solucionamos esta equação.

A equação diferencial $$x^2 y” + x y’ + (x^2 -v^2) y = 0 , \tag{1} $$ onde v é uma constante dada, é conhecida como equação de Bessel e é uma das mais importantes equações da matemática aplicada. Para estudá-la, assumimos que v é um número não negativo.

Friedrich Wilhelm Bessel (1784 – 1846) foi uma astrônomo e matemático alemão que em 1838 mediu, pela primeira vez a distância da estrela 61 Cygni. Em 1840 ele previu a existência de uma massa planetária além da órbita de Urano e o planeta Netuno seria descoberto seis anos depois. A equação (1) aparece em seu trabalho sobre movimento planetário, mas ela e sua solução foram provavelmente descobertas por Daniel Bernoulli em sua pesquisa sobre determinação dos deslocamentos de uma corrente oscilatória.

A Solução da Equação de Bessel

Para resolver a equação de Bessel lançaremos mão do teorema abaixo, enunciado no artigo anterior, sobre soluções de EDO’s por séries em torno de pontos singulares e o método de Frobenius:

TEOREMA 1: Qualquer equação diferencial na forma $$ y” + \frac{a(x)}{x} y’ + \frac{b(x)}{x^2} y = 0 \tag{2} $$ onde as funções a(x) e  b(x) são analíticas em x = 0 , tem ai menos uma solução a qual podem ser representadas na forma $$ y(x)  = \sum_{m=0}^{\infty}{c_m  x ^m} = x^r \left(  c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + …. \right), \qquad c_0 \neq 0\label{3} $$ onde o expoente r pode ser qualquer número real ou complexo.

A equação de Bessel está na forma canônica deste teorema, logo possui uma solução na forma (3). Substituindo esta expressão e suas derivadas de primeira e segunda ordens na equação de Bessel, imediatamente obtemos $$ \sum_{m=0}^{\infty}{(m + r) (m + r-1) c_m x^{m + r } } + \sum_{m=0}^{\infty}{(m + r)  c_m x^{m + r } } + \\ + \sum_{m=0}^{\infty}{ c_m x^{m + r+2} } – v^2 \sum_{m=0}^{\infty}{ c_m x^{m + r} }= 0.$$

Igualando a soma dois coeficientes encontramos $$ (a) \qquad r(r-1)c_0 + r c_0 – v^2 c_0 = 0 \qquad (s=0) \\ (b) \qquad (r+1)rc_1 + (r+1)c_1 – v^2 c_1 = 0 \qquad (s=1) \\ (c) \qquad (s+r)(s+r-1)c_s + (s+r)c_s +c_{s-2} – v^2 c_s = 0 \qquad (s=2,3,… ) \tag{3}$$ De (3a) obtemos a função indicial $$(r+v)(r-v) = 0 \tag{4}$$ cujas raízes são r_1 = v (\geq 0) e r_2 =-v .

Primeiramente vamos determinar uma solução correspondente à raiz r_1 . Para este valor de r , a equação (3b) leva a c_1 = 0 e a equação (3c) pode ser escrita como $$ (s+r+v)(s+r-v)c_s +c_{s-2} = 0, $$ e como r = v isso nos leva a  $$(s+2v)sc_s + c_{s-2} = 0 \tag{5} $$ Desde que c_1 = 0 e v \geq 0 , daí segue que c_3 = c_5 = c_7 = ... = 0 . Se colocarmos s= 2m em (5), obteremos $$c_{2m} = – \frac{1}{2^2 m(v+m)} c_{2m-2} = \frac{(-1)^m c_0}{2^{2m} m! (1+v)(2+v)…(m+v)} \qquad m =1,2,3,… \tag{6} $$ e assim poderemos determinar os coeficientes c_2 , c_4 , ... partindo de c_0 .

Sendo c_0 arbitrário, é comum definir $$c_0 = \frac{1}{2^v \Gamma (v+1)} $$ onde \Gamma (v+1) é a função gama (veja nosso artigo sobre a função gama.) Como esta função possui a conveniente propriedade $$ \Gamma(1 + \alpha ) = \alpha \Gamma ( \alpha ),$$ podemos reduzir o produto indicado no denominador de (6) a um termo. Por exemplo, \begin{eqnarray} \Gamma (1+v+1) & = & (1+v) \Gamma (1 + v)\\ \Gamma (1+v+2) & = & (2+v) \Gamma (2 + v)\\ & = & (2+v) (1+v) \Gamma (1 + v) \end{eqnarray}

Com isso, podemos escrever (6) como $$c_{2m} =  \frac{(-1)^m c_0}{2^{2m} m! (1+v)(2+v)…(m+v)} = \\ \frac{(-1)^m }{2^{2m+v} m! (1+v)(2+v)…(m+v) \Gamma (1+v)} = \frac{(-1)^m }{2^{2m+v} m! \Gamma (1+v+m)}  \qquad m =0,1,2,3,…$$ Seque-se que a solução é $$ y(x) = \sum\limits_{m=0}^{\infty}{c_{2m} x^{2m+v}} = \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)^m }{ m! \Gamma (1+v+m)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2m+v}}$$ e se v \geq 0 , a série converge pelo menos no intervalo [0, \infty) , e esta é uma solução particular da equação de Bessel a qual é denotada por $$ J_v (x) = \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)^m }{ m! \Gamma (1+v+m)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2m+v}}$$

Funções de Bessel de Primeira Espécie

A solução serial $$ J_v (x) = \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)^m }{ m! \Gamma (1+v+m)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2m+v}} \tag{7} $$ é conhecida como função de Bessel de primeira espécie de ordem v . Ainda para o seguinte expoente r_2 = - v , obtemos, exatamente da mesma maneira, $$ J_{-v} (x) = \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)^m }{ m! \Gamma (1-v+m)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2m-v}}$$ que é a função de Bessel de primeira espécie de ordem  -v . 

Valores inteiros de v são frequentemente denotados por n . Desta forma, para n \geq 0 , obtemos $$ J_n (x) = \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)^m }{ m! \Gamma (1+n+m)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2m+n}} = \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)^m }{ m! (n+m)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2m+n}}.$$

Por exemplo, a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero é $$ J_0 (x) = 1 – \frac{x^2}{2^2 (1!)^2} + \frac{x^4}{2^4 (2!)^2} – \frac{x^6}{2^6 (3!)^2}+…,$$ e a função de Bessel de primeira ordem é $$ J_1 (x) = \frac{x}{2} – \frac{x^3}{2^3 (1!)2!} + \frac{x^5}{2^5 (2!)3!} – \frac{x^7}{2^7 (3!)4!}+… \; .$$ Ambas estão ilustradas no gráfico abaixo.

É interessante notar que para v = \dfrac{1}{2} a série em (7) se torna a conhecida expansão de McLaurin. Usando a relação \Gamma (1/2) = \sqrt{ \pi} (que foi mostrado neste artigo sobre a função Gama.) Assim, podemos calcular ainda $$ J_{1/2} (x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x} } \text{sen}(x).$$

Como a equação de Bessel envolve v^2 , as funções J_v e J_{-v} são soluções da equação para o mesmo v . Elas são linearmente independentes, porque o primeiro termo das duas são finitos múltiplos de x^v e x^{-v} diferentes de zero. Desta forma, quando v não é um inteiro, a solução geral da equação de Bessel para todo x \neq 0 é $$ y(x) = a_1 J_v (x) + a_2 J_{-v} (x) .$$

Funções de Bessel de 2ª Espécie

Para valores não-inteiros de v , as funções de Bessel J_n e J_{-n} são linearmente dependentes e não formam um conjunto fundamental de soluções. Assim, se v não é inteiro, a função definida pela combinação linear $$ Y_{v}(x) = \frac{\text{cos} (v \pi) J_v (x) – J_{-v} (x)}{\text{sen} ( v \pi ) } \tag{8} $$ e a função J_v são soluções linearmente independentes de (1).

Logo, uma outra forma para a solução geral de (1) é $$y(x) = c_1 J_v (x) + c_2 Y_v (x),$$ desde que v \neq \text{inteiro} . Quando v \rightarrow m \in \mathbb{Z} , então (8) possui a forma indeterminada 0/0. Porém, pode ser mostrado pela regra de L’Hôpital, que $$ \lim\limits_{v \rightarrow m}{Y_{v}(x) } $$ existe. Ainda, a função $$ Ym (x) = \lim\limits_{v \rightarrow m}{Y_{v}(x) } $$ e J_m (x) são soluções linearmente independentes de $$x^2 y” + xy’+(x^2 -m^2) y = 0.$$

Portanto, para qualquer valor de v , a solução geral para (1) em (0, \infty ) pode ser escrita como $$y = c_1 J_v (x) + c_2 Y_v (x).$$ Y_v (x) é algumas vezes chamada de função de Neumann, também denotada por N_v(x) , mais comumente, Y_v (x) é chamada de função de Bessel de segunda espécie de ordem v .

Devemos ainda mencionar que existe uma necessidade prática por soluções da equação de Bessel que são complexas para valores reais de x . Por esta razão as soluções \begin{eqnarray} H^{1}_{v} (x) & = & J_v (x) + i Y_v (x) \\ H^{2}_{v} (x) & = & J_v (x) – i Y_v (x)  \end{eqnarray} são frequentemente usadas e tabelas. Estas funções linearmente independentes são denominadas funções de Bessel de terceira espécie de ordem v ou primeira e segunda função de Henkel de ordem v .

EXEMPLO: A solução geral para a equação $$ x^2 y” + x y’ + (x^2 -9) y = 0 $$ em (0, \infty ) , observando que v = 3 , é dada que $$ y(x) = c_1 J_3 (x) + c_2 Y_3 (x) .$$

A Equação de Bessel Paramétrica

Trocando x por \lambda x em (1) e usando a regra de cadeia, obtemos uma forma alternativa da equação de Bessel conhecida como equação de Bessel paramétrica: $$ x^2 y” + x y’ + \left( \lambda ^2 x^2 – v^2 \right) y = 0 . \tag{12} $$ A solução geral para (12) é $$ y(x) = c_1 J_{v} ( \lambda x ) + c_2 Y_{v} ( \lambda x ) .$$

Tabelas de Valores das Funções de Bessel

Valores funcionais de J_0 (x) e J_1 (x) para alguns valores selecionados de x são dados na tabela abaixo. Os zeros dessas duas funções, a saber, os valores de x para os quais J_0 (x) = 0 e J_1 (x) = 0 , são importantes em algumas aplicações de equações diferenciais parciais.

Abaixo temos uma tabela com os valores de Y_0 (x) e Y_1 (x)

Propriedades das Funções de Bessel

Para trabalhar com as funções de Bessel é necessário saber que estas funções satisfazem várias relações e propriedades. Listamos abaixo algumas propriedades úteis das funções de Bessel de ordem m = 0,1,2,3,... : \begin{eqnarray} (i) &  & J_{-m} (x) = (-1)^m J_m (x) \\ & & \\ (ii) &  & J_{m} (-x) = (-1)^m J_m (x) \\ & & \\ (iii) &  & J_{m} (0) =0, m>0 \\ & & \\ (iv) &  & J_{0} (0) = 1 \\ & & \\ (v) &  & \lim_{x \rightarrow 0^+}{Y_{m} (x) } = – \infty \\ & & \\ (vi) &  & \frac{d}{dx} \left[ x^v J_v (x) \right] = x^v J_{v-1} (x) \\ & & \\ (vii) &  & \frac{d}{dx} \left[ x^{-v} J_{-v} (x) \right] = – x^{-v} J_{v+1} (x) \\ & & \\ (viii) & & J_{v-1}(x) + J_{v+1} (x) = \frac{2v}{x} J_v (x) \\ & & \\ (ix) & & J_{v-1}(x) – J_{v+1} (x) = 2J_v ‘ (x) \end{eqnarray}

Usando estas propriedades conseguimos resultados interessantes. Sabendo que $$ J_{1/2} (x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x} } \text{sen}(x)$$ podemos concluir que $$ J_{-1/2} (x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x} } \text{cos}(x).$$

Note que a propriedade (ii) indica que J_m (x) é uma função par se m for um inteiro par e uma função ímpar se m for um inteiro ímpar. Os gráficos  de Y_0 (x) e Y_1 (x) serão dados abaixo e ilustram a propriedade (v): Y_m (x) é ilimitada na origem. Esse fato não é óbvio a partir de (8). Pode ser mostrado que, para x>0 , $$ Y_0 (x) = \frac{2}{ \pi} J_0 (x) \left[ \gamma + \ln{\frac{x}{2}} \right] – \frac{2}{ \pi} \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(k!)^2} \left( 1 + \frac{1}{2} + … + \frac{1}{k} \right) \left( \frac{x}{2} \right)^{2k} },$$ em que \gamma = 0,57721566... é a constante de Euler-Mascheroni. Observe que, por causa da presença do termo logarítmico, Y_0 (x) é descontínuo em x = 0 .

Já as fórmulas de recorrência (viii) e (ix) são de grande importância prática. Por exemplo, (viii) serve para expressar funções de Bessel de ordens mais altas em termos de funções de ordens mais baixas. Aplicando (viii) em $$ J_{1/2} (x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x} } \text{sen}(x)$$ obtemos $$ J_{3/2} (Ix) = \frac{1}{x} J_{1/2}(x) – J_{-1/2} (x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x} } \left( \frac{\text{sen}(x)}{x} – \text{cos}(x) \right)$$ $$ J_{-3/2} (Ix) = – \frac{1}{x} J_{-1/2}(x) – J_{1/2} (x) = – \sqrt{\frac{2}{\pi x} } \left( \frac{\text{cos}(x)}{x} – \text{sen}(x) \right)$$ e assim por diante, donde poderemos concluir que para v = \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{5}{2}, ... as funções de Bessel são funções elementares.

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