EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma terceira lista de exercícios resolvidos sobre EDO’s de primeira ordem exatas. Uma equação diferencial da forma $$M(x,y) dx+N(x,y)dy=0$$ é chamada de equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Pode-se mostrar que a equação M(t,y)+N(t,y)y'=0, é uma EDO exata em R se, e somente se, M_y (t,y)=N_t (t,y) em cada ponto de R.

Se a EDO é exata, então podemos afirmar que existe uma função \psi tal que \psi (t,y) = c é uma solução implícita desta EDO exata e \dfrac{\partial \psi}{ \partial t}(t,y)=M(t,y),\;\;\;\dfrac{ \partial \psi}{ \partial y}(t,y)=N(t,y) se, e só se, M_y (t,y)=N_t (t,y).

Algumas vezes é possível transformar uma EDO não-exata em uma EDO exata multiplicando a equação por um fator integrante apropriado. Para que este fator integrante \mu (t) exista para uma EDO não-exata na forma M(t,y)+N(t,y)y'=0, é necessário que \dfrac{d\mu}{dt}=\dfrac{M_y - N_t}{N} \mu. Se \dfrac{M_y - N_t}{N} depende apenas de t, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de t. Analogamente, se \dfrac{N_t - M_y}{M} depende apenas de y, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de y.

EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Resolva as EDOs de 1ª ordem abaixo:

a) \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{5y - 2x}{-5x + 3y^2}

SOLUÇÃO: Observe que  \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{5y - 2x}{-5x + 3y^2} pode ser reescrita como $$(2x-5y)dx + (-5x +3y^2)dy$$ Observe que se M(x,y) = 2x-5y  e N(x,y) = -5x +3y^2 , então \dfrac{\partial M}{\partial y} = -5 = \dfrac{\partial N}{\partial x} , ou seja, a EDO é exata.

Desta forma, existe \Psi(x,y) tal que \Psi(x,y) = k é solução implícita da EDO e \dfrac{\partial \Psi}{\partial y} = -5x +3y^2 e \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = 2x-5y .

Integrando \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = 2x-5y para x, encontramos $$ \Psi (x,y) = x^2 – 5xy + f(y).$$ Logo $$ \frac{\partial \Psi}{\partial y} = -5x +3y^2 = \frac{\partial (x^2 – 5xy + f(y))}{\partial y} = -5x + f’ (y) $$ nos dá $$f(y) = \int{3y^2 dy} = y^3.$$

Portanto, $$x^2 – 5xy + y^3 = c$$ é a solução implícita da EDO.

b) x^2 y^3 dx + x^3 y^2 dy = 0

SOLUÇÃO: Facilmente vemos que esta é uma EDO exata, pois \dfrac{\partial M}{\partial y} = 3x^2 y^2 = \dfrac{\partial N}{\partial x} .

Desta forma, existe \Psi(x,y) tal que \Psi(x,y) = k é solução implícita da EDO e \dfrac{\partial \Psi}{\partial y} = x^3 y^2 e \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = x^2 y^3 .

Integrando \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} =x^2 y^3 para x, encontramos $$ \Psi (x,y) = \frac{1}{3} x^3 y^3 + f(y).$$ Logo $$ \frac{\partial \Psi}{\partial y} = x^3 y^2 = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{1}{3} x^3 y^3 + f(y) \right )= x^3 y^2 + f’ (y) $$ nos dá $$f(y) = \int{0 dy} = c.$$

Portanto, $$\frac{1}{3} x^3y^3 = c$$ é a solução implícita da EDO.

c) (-3t + y + 6) + (t + y +2) y' = 0

SOLUÇÃO: Esta é uma EDO exata. De fato, \dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 = \dfrac{\partial N}{\partial t} . Assim, existe uma função \Psi (t,y) tal que $$ \frac{\partial \Psi}{\partial y} =N = t +y +2 \Leftrightarrow \Psi (t,y) = ty + \frac{y^2}{2}+2y + f(t)$$ $$\frac{\partial \Psi}{\partial y} =M = -3t + y + 6 = y + f'(t) \Leftrightarrow f(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 6t$$ $$ \Psi (t,y) = ty + \frac{y^2}{2}+2y -\frac{3}{2}t^2 + 6t. $$

2) Resolva o PVI $$(cos(x)sen(x) – xy^2) dx + y(1-x^2)dy = 0, \;\;\;\; y(0)=2.  $$

SOLUÇÃO: Esta equação é exata, pois $$\frac{\partial M}{\partial y} = -2 xy = \frac{\partial N}{\partial x} . $$ Logo $$ \frac{\partial \Psi}{\partial y} = y(1-x^2) \Leftrightarrow \Psi(x,y) = \frac{y^2}{2}(1 – x^2) + h(x)$$ e como $$ \frac{\partial \Psi}{\partial x} = -xy^2 +h'(x) = cos(x)sen(x) – xy^2 \Rightarrow h'(x) =cos(x)sen(x) \Rightarrow h(x) = – \frac{1}{2}cos^2 x .$$ Portanto, $$ \frac{y^2}{2}(1 – x^2)  – \frac{1}{2}cos^2 x = c_1 $$ $$ y^2(1 – x^2)  -cos^2 x = c $$ Substituindo a condição inicial encontramo s c =3, o que nos leva à solução implícita única $$ y^2(1 – x^2)  -cos^2 x = 3 .  $$

3) Dada a EDO de primeira ordem (\sin{(xy)} + xy \cos{(xy)})dx+(1 + x^2\cos{(xy)})dy = 0, encontre sua solução geral.

SOLUÇÃO: Essa é uma EDO exata. De fato, podemos ver que $$\frac{\partial M}{\partial y} = 2xcos(xy) – x^2 y sen(xy) = \frac{\partial N}{\partial x}.$$

Daí, sabemos que existe uma função \psi (x,y) tal que \frac{\partial \psi}{\partial y} = N e \frac{\partial \psi}{\partial x} = M .

Assim, integrando \frac{\partial \psi}{\partial y} = N em relação à variável y, encontramos $$ \psi (x,y) = \frac{y^2}{2} + xsen(xy) + g(x).$$

Usando a igualdade \frac{\partial \psi}{\partial x} = M , encontramos g(x) = c .

Portanto, a solução geral da EDO é dada de forma implícita por $$\frac{y^2}{2} + xsen(xy) + c = 0.$$

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