As funções complexas são relações entre dois subconjuntos de números complexos e aparecem da necessidade de trabalhar problemas práticos que demandam métodos que os números reais não bastam. Muitos problemas originados da modelagem de fenômenos naturais podem ser tratados e resolvidos por métodos de análise complexa.
Grosso modo, estes problemas podem ser subdivididos em duas grandes classe. A primeira classe consiste de “problemas elementares” para os quais o conhecimento básico dos números complexos são suficientes, como, por exemplo, muitas aplicações com ligações com circuitos elétricos e sistemas de vibrações mecânicas.
A segunda classe de problemas demandam um detalhado conhecimento da teoria das funções analíticas complexas e os poderoso e elegantes métodos usados neste campo da matemática. Problemas interessantes na teoria do calor, dinâmica dos fluidos e eletrostática pertencem a esta categoria. Algumas das principais aplicações das funções complexas podem ser enumeradas como:
1. Problemas bidimensionais envolvendo soluções da equação de Laplace;
2. Algumas integrais complicadas, reais ou complexas, que aparecem em algumas aplicações podem ser calculadas por métodos de integração complexa;
3. A maioria das funções não elementares aparecem em engenharia são funções analíticas, e a consideração destas funções para valores complexos das variáveis independentes precisa de um profundo e mais detalhado conhecimento destas propriedades.
Na história da matemática, o primeiro a utilizar os números complexos foi o matemático italiano Girolando Cardano por volta do século XVI para solucionar equações cúbicas. Porém, foi Gauss, o maior matemático de todos os tempos, quem apresentou uma teoria consistente para os números complexos inclusive dando a eles nome. Equações na forma x^2+1=0 e x^2 - 10 x +40 = 0 são observadas desde os primórdios da matemática e elas deram origem ao que hoje chamado de número complexo.
Nesta categoria, queremos trabalhar com os as funções complexas, em especial, as funções analíticas complexas, partindo dos conceitos básicos dos números complexos até conceitos mais sofisticados do cálculo diferencial e integral, como as Equações de Cauchy-Riemann e as funções trigonométricas e hiperbólicas complexas.
| Abaixo temos os tópicos sobre FUNÇÕES ANALÍTICAS COMPLEXAS, abordados em sequência. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado ao conteúdo |
1. Números Complexos
1.1 – Números Complexos | Primeiras Definições e Operações Elementares
1.1.1 – Números Complexos: 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.2 – Números Complexos | A Forma Polar e as Operações Elementares
1.2.1 – Números Complexos | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.2.2 – Números Complexos | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.3 – A Topológia do Plano Complexo | Funções de Variáveis Complexas
1.4 – Introdução às Funções de Uma Variável Real a Valores Complexos
2. Funções de Variáveis Complexas
2.1 – Funções de Variáveis Complexas | Uma Introdução.
2.2 – Funções de Variáveis Complexas | Limite e Continuidade
2.3 – Diferenciabilidade e Funções Analíticas Complexas
2.4 – Polinômios Complexos
2.4.1 – Polinômios Complexos – Lista de Exercícios Resolvidos
2.5 –Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Complexas
2.6 – A Função Exponencial Complexa
2.7 – A Função Logarítmica Complexa – Potenciação generalizada
Bibliografia
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Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.
KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Harbra, 1994.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica, vol 1 e 2. Rio de Janeiro: Makron Books, 1987.
STEWART, J. Cálculo, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Pioneira – Thomson Learning, 2001.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Makron Books, 1994.
Este artigo aborda as funções complexas, destacando a diferenciabilidade e as funções analíticas. Inclui uma análise das equações de Cauchy-Riemann e da Equação de Laplace, essencial para estudantes e profissionais interessados em aprofundar seus conhecimentos em análise complexa e suas aplicações na engenharia e ciências.
Funções Analíticas Complexas: Lista de Exercícios – Métodos Matemáticos Read More »
Este artigo aborda a forma polar de números complexos, incluindo operações elementares e a fórmula de Moivre, através de uma lista de exercícios resolvidos para aprimorar seu entendimento matemático.
Forma Polar de Números Complexos: Lista de Exercícios para Métodos Matemáticos Read More »
Este artigo oferece um mergulho profundo nos números complexos, abordando desde as definições básicas até aplicações complexas. Inclui uma série de exercícios práticos para solidificar o entendimento e a aplicação desses conceitos em diferentes campos, tornando-se um recurso essencial para estudantes e entusiastas da matemática.
Números Complexos: Lista de Exercícios para Métodos Matemáticos Read More »
Neste artigo queremos introduzir as funções com domínio real e contra-domínio no conjunto dos números complexos, com foco em aspectos importantes do cálculo diferencial e integral.
Introdução às Funções de Uma Variável Real a Valores Complexos Read More »
Neste artigo temos uma lista de exercícios resolvidos sobre os polinômios complexos, que são funções polinomiais com domínio complexo.
Polinômios Complexos | Lista de Exercícios Resolvidos Read More »
Neste artigo estabelecemos de forma menos rigorosa os aspectos topológicos do plano complexo necessários ao estudo das funções complexas.
A Topológia do Plano Complexo | Funções de Variáveis Complexas Read More »
Neste artigo queremos falar sobre os polinômios complexos, que é uma função polinomial com domínio e contra-domínio no conjunto complexo.
Polinômios Complexos | Funções Analíticas Complexas Read More »
Neste artigo oferecemos uma 3º lista de exercícios resolvidos, agora envolvendo a forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Números Complexos | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos Read More »
Neste artigo oferecemos uma lista de exercícios resolvidos sobre a forma polar ou trigonométrica de um número complexo. Em alguns problemas, a forma cartesiana de um numero complexo não é tão prática e a forma polar de um número complexo se torna uma ótima opção. Desta forma, é chamada de forma trigonométrica ou polar de
Números Complexos | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos Read More »
Neste artigo quero apresentar uma 1ª lista de exercícios resolvidos sobre números complexos, operações elementares, módulo e conjugado.
Números Complexos: Módulo e Conjugado | Exercícios Resolvidos Read More »
Neste artigo queremos estabelecer as bases da função logarítmica complexa, as propriedades principais e sua derivada.
A Função Logarítmica Complexa | Funções Analíticas Complexas Read More »
Neste artigo queremos definir as funções trigonométricas e hiperbólicas complexas, como funções analíticas.
Funções Analíticas Complexas | Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Read More »
Neste artigo queremos estabelecer as bases da função exponencial complexa, as suas propriedades principais e sua derivada.
A Função Exponencial Complexa | Funções Analíticas Complexas Read More »
Nesse artigo introduzimos o conceito de diferenciabilidade para as funções de variáveis complexas e estabelecemos as fórmulas de derivação, bem como as equações de Cauchy-Riemann
Variáveis Complexas | Diferenciabilidade e Funções Analíticas Read More »
Nesse artigo introduzimos os conceitos de limite e continuidade para as funções de variáveis complexas e suas relações com funções reais de várias variáveis.
Funções de Variáveis Complexas | Limite e Continuidade Read More »
Nesse artigo introduzimos as funções de variáveis complexas, bem como suas características básicas para o estudo das funções analíticas.
Uma Introdução às Funções de Variáveis Complexas Read More »
Nesse artigo introduzimos a forma polar de um número complexo, estabelecendo as operações elementares entre complexos e a fórmula de Moivre.
Números Complexos | A Forma Polar e as Operações Elementares Read More »
Nesse artigo introduzimos o conceito de número complexo, estabelecendo as primeiras definições e as operações elementares entre complexos.
Números Complexos | Módulo, Conjugado e Operações Elementares Read More »
