A Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita

Queremos encontrar a solução da equação da onda numa corda unidimensional infinita que é dada por $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$ sujeita às condições iniciais: $$- \infty < x < \infty ,$$ $$u(x,0) = f(x)= \left\{ \begin{array}{rll} 2 & ; & |x| < 1 \\ 0 & ; & |x| > 1 \end{array} \right. $$ $$ \frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = 0 .$$

Como Saber Qual Método Usar Neste Caso?

As séries, integrais e transformadas de Fourier podem ser utilizadas para resolver vários problemas de contorno que acorrem na ciência e na engenharia. Uma pergunta natural é: Como podemos saber qual das ferramentas de Fourier utilizar? A resposta não é tão simples, mas poderia ser dada da seguinte maneira:

1) As séries de Fourier são aplicada a problemas que envolvem o domínio de variável entre [0,L];

2) As transformadas de Fourier são aplicadas em problemas onde a variável a ser transformada possui domínio dado por (- \infty , \infty) ;

3) Para aplicarmos uma transformada seno ou cosseno, o domínio de ao menos uma das variáveis no problema deve ser [0 , \infty) . Porém, o fator determinante na escolha entre a transformada seno e a transformada cosseno é o tipo de condição de contorno especificada em zero.

Resolvendo a Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita usando a Transformada de Fourier

Aplicando a Transformada de Fourier na função u(x,t) obtemos $$\mathscr{F}\left\{ u(x,t) \right\} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{u(x,t)e^{-i\alpha x}dx} = U(\alpha,t).$$ Por propriedades enunciadas, temos que $$\mathscr{F}\left\{ \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) \right\} = -i\alpha U(\alpha,t)\;\;\;e\;\;\; \mathscr{F}\left\{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) \right\} = -\alpha^2 U(\alpha,t).$$

Agora, observe que $$\mathscr{F}\left\{ \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}(x,t) \right\} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}(x,t)e^{-i\alpha x}dx} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \int\limits^{\infty}_{-\infty}{u(x,t)e^{-i\alpha x}dx}= \frac{\partial^2 }{\partial t^2}U(\alpha,t).$$

Agora, substituímos na equação da onda e obtemos a seguinte equação $$-a^2 \alpha^2 U(\alpha,t) = \frac{\partial ^2}{\partial t^2}U(\alpha,t) \Rightarrow \frac{\partial ^2}{\partial t^2}U(\alpha,t) + a^2 \alpha^2 U(\alpha,t)=0.$$ Obtemos uma EDO de primeira ordem cuja solução é dada por $$U(\alpha,t) = c_1 cos (a \alpha t) + c_2 sen(a \alpha t).$$

Pelas condições iniciais e usando a tabela de Transformada de Fourier $$U(\alpha,0) = c_1 = \mathscr{F}\left\{ u(x,0) \right\} = \frac{4\sin{\alpha}}{\alpha}$$

Portanto, $$U(\alpha,t) = \frac{4\sin{\alpha}}{\alpha} cos (a \alpha t) + c_2 sen(a \alpha t).$$

Daí, como $$\frac{\partial U}{\partial t} ( \alpha ,t) = -4 a sen(a \alpha t) + a \alpha c_2 cos(a \alpha t), $$ então $$ \frac{\partial U}{\partial t} ( \alpha ,0) = a \alpha c_2, $$ Logo, c_2 =0 .

Ou seja, $$U(\alpha,t) = \frac{4\sin{\alpha}}{\alpha} cos (a \alpha t).$$

Pela integral de inversão
$$u(x,t) = \mathscr{F}^{-1}\{ U(\alpha,t) \} = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{U(\alpha,t)e^{i\alpha x}d\alpha} = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{\frac{4\sin{\alpha}}{\alpha} cos (a \alpha t) e^{i\alpha x}d\alpha}$$

Um Caso Mais Geral Deste Problema Usando a Integral de Fourier

A Equação da onda numa corda infinita:  Resolva, usando a integral de Fourier, a equação $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$ sujeita às condições iniciais: $$- \infty < x < \infty , \qquad t >0$$ $$u(x,0) = f(x)$$ $$\frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = 0 , \qquad | u(x,t)| < M.$$

SOLUÇÃO: Fazendo u = XT como no método da separação das variáveis, obtemos, da maneira usual, uma solução que satisfaz à condição de contorno u(x,0) = f(x) dada por: $$ u(x,t) = \left[ A cos( \lambda x) + B sen (\lambda x) \right]cos ( \lambda a t).$$

Admitindo que A e B são funções de \lambda e integrando de 0 a + \infty nesta variável chegamos à solução possível $$u(x,t) = \int\limits_{0}^{+ \infty}{\left[ A cos( \lambda x) + B sen (\lambda x) \right]cos ( \lambda a t) d \lambda}.$$ Fazendo t = 0 nesta solução, vemos, pela primeiro condição de contorno que devemos ter $$f(x) = \int\limits_{0}^{+ \infty}{\left[ A cos( \lambda x) + B sen (\lambda x) \right]d \lambda},$$ que pela integral de Fourier nos diz que $$A( \lambda ) = \frac{1}{ \pi}\int\limits_{- \infty}^{ \infty}{f(v) cos( \lambda v) dv}$$ $$B( \lambda ) = \frac{1}{ \pi}\int\limits_{- \infty}^{ \infty}{f(v) sen( \lambda v) dv}$$  donde fizemos a mudança de variável de x para v.

Assim, $$u(x,t) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{- \infty}^{\infty}{f(v) \left[ cos( \lambda v) cos( \lambda x) + sen( \lambda v) sen (\lambda x) \right]cos ( \lambda a t) d dv \lambda} =$$ $$ = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{- \infty}^{\infty}{f(v) \left[ cos( \lambda [x-v]) cos( \lambda x)\right]cos ( \lambda a t) dv d \lambda} = $$ $$ = \frac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{- \infty}^{\infty}{f(v) \left[ cos( \lambda [x + at -v]) + cos( \lambda [x – at -v])\right] dv d \lambda},$$ por propriedades trigonométricas.

Agora, podemos escrever o resultado como $$u(x,t) = \frac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{- \infty}^{\infty}{f(v) cos( \lambda [x + at -v]) dv d \lambda} + \frac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{- \infty}^{\infty}{f(v)cos( \lambda [x – at -v]) dv d \lambda},$$

Porém, da Integral de Fourier sabemos que $$f(x) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{- \infty}^{\infty}{f(v) cos( \lambda [x -v]) dv d \lambda} $$ e substituindo nesta relação x por x+at e depois x por x-at na integrais de u(x,t), vemos que podemos escrever $$u(x,t) = \frac{1}{2} \left[ f(x+at) + f(x-at) \right]$$ que é a solução procurada.

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Vídeo-Aula do Nosso Canal:

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