Expansão em Meio Intervalo | Lista de Exercícios Resolvidos

Expansões em meio-intervalo são expansões em Série de Fourier. A ideia é simples e muito aplicável. Dada uma função f(x) definida num intervalo (0,L), podemos expandir essa função como uma série de senos ou uma série de cossenos, gerando uma expansão par ou ímpar de f(x), colocando-a, ainda, como uma função de período 2L. Essas séries são conhecidas como expansão de Fourier de meio intervalo da função f(x).

Lista de Exercícios sobre Expansões em Meio Intervalo

1) Desenvolva f(x) = sen(x), 0 < x < \pi , em Série de Fourier de Cossenos.

SOLUÇÃO: Uma série de Fourier contendo somente termos de cossenos corresponde a uma função par. Poemos, então, estender a definição de f(x) de modo que ela se torne uma função par (como mostramos pelo tracejado no gráfico abaixo).

Com essa extensão f(x) fica definida em um intervalo de amplitude 2 \pi . Tomando 2 \pi como período temos 2L = 2 \pi , de modo que L = \pi .

Nestas condições, sabemos que b_n = 0 , a_0 = 0 e $$a_n = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{sen(x) cos(nx)dx} = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{(sen(x+nx) + sen(x -nx))dx} = $$ $$ = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{cos([n+1]x)}{n+1}  + \frac{cos([n-1]x)}{n-1} \right)_{0}^{\pi} = \frac{-2[1 + cos(n\pi)] }{\pi (n^2 -1)}, \qquad n \neq 1. $$ Para n = 1 , obtemos $$ a_1 = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{sen(x)cos(x)dx} = \left[ \frac{2}{\pi} \frac{sen^2 (x)}{2} \right]_{0}^{\pi} = 0 .$$

Então, $$f(x) = \frac{2}{\pi} – \frac{2}{\pi}\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{1 + cos(n\pi) }{n^2 -1} cos(n x)} .$$ Ou seja,  $$f(x) =  \frac{2}{\pi} – \frac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{cos(2n x) }{4n^2 -1}}$$

2) Desenvolva f(x) = x, 0 < x < 2 , como uma série de:

a) senos;

SOLUÇÃO: Estendamos a definição da função dada à da função ímpar de período 4 exibida no gráfico abaixo. Esta extensão costuma chamar-se prolongamento ímpar de f(x). Então 2L = 4, logo, L  = 2.

Assim, $$ a_n = a_0 =0 $$ e $$b_n = \frac{2}{L}\int\limits_{0}^{L}{f(x)sen{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)} dx} = \int\limits_{0}^{L}{x sen{\left( \frac{n \pi x}{2} \right)} dx} = $$ $$ = \frac{-4}{n \pi} \cos{\left( n \pi \right)} = (-1)^{n+1} \frac{4}{n \pi}$$

Então, $$f(x) = \sum\limits_{n=1}^{+ \infty}{(-1)^{n+1} \frac{4}{n \pi} sen\left( \frac{n \pi x}{2} \right)}$$

b) cossenos.

SOLUÇÃO:Estendamos a definição de f(x) à da função par de período 4, exibida na figura abaixo. É o prolongamento par de f(x). Então 2L = 4, logo L = 2.

Assim, $$ b_n = 0$$ $$a_0 = \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} = \int\limits_{0}^{2}{xdx} = 2$$ $$ a_n = \frac{2}{L} \int\limits_{0}^{L}{f(x) cos{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)} dx} = \int\limits_{0}^{2}{x cos{\left( \frac{n \pi x}{2} \right)} dx} = $$ $$ = \frac{-4}{n^2 \pi ^2} \left[\cos{\left( n \pi \right)} -1 \right] = \frac{8}{(2n-1)^2 \pi^2}$$

Então, $$f(x) =1+ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{8}{(2n-1)^2 \pi^2} cos\left( \frac{(2n-1) \pi x}{2} \right)}.$$

3) Desenvolva f(x) = x^2, 0<x<L

a) em uma série de Fourier de cossenos;

SOLUÇÃO: Temos $$a_0 = \frac{2}{L}\int\limits_{0}^{L}{x^2 dx} = \frac{2}{3}L^2$$ e integrando por partes $$a_n = \frac{2}{L}\int\limits_{0}^{L}{x^2 cos\left( \frac{n \pi}{L} x \right) dx} = \frac{4L^2(-1)^n}{n^2 \pi ^2}.$$ Assim, $$f(x) = \frac{L^2}{3} + \frac{4 L^2}{\pi ^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n^2} cos\left( \frac{n \pi}{L} x \right)}$$

b) em uma série de Fourier de senos;

SOLUÇÃO: Neste caso, $$b_n = \frac{2}{L}\int\limits_{0}^{L}{x^2 sen\left( \frac{n \pi}{L} x \right) dx}$$ e após integrar por partes, obtemos $$b_n = \frac{2L^2(-1)^{n+1}}{n \pi} + \frac{4L^2}{n^3 \pi ^3} [(-1)^n -1].$$ Assim, $$ f(x) = \frac{2L^2}{\pi}\sum\limits_{n = 1}^{ \infty}{\left[  \frac{(-1)^{n+1}}{n} + \frac{2}{n^3 \pi ^2} [(-1)^n -1] \right] sen\left( \frac{n \pi}{L} x \right)} $$

c) em um série de Fourier.

SOLUÇÃO: Com $$ p = L/2; \qquad 1/p = 2/L; \qquad n \pi /L = 2n \pi /L ,$$ temos $$a_0 = \frac{2}{L}\int\limits_{0}^{L}{x^2 dx} = \frac{2}{3}L^2$$ $$a_n = \frac{2}{L}\int\limits_{0}^{L}{x^2 cos\left( \frac{2n \pi}{L} x \right) dx} = \frac{L^2}{n^2 \pi ^2}$$ $$b_n = \frac{2}{L}\int\limits_{0}^{L}{x^2 sen\left( \frac{2n \pi}{L} x \right) dx} = – \frac{L^2}{n \pi}$$ Portanto, $$f(x) = \frac{L^2}{3} + \frac{L^2}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\left[ \frac{1}{n^2 \pi} cos\left( \frac{2n \pi}{L} x \right)  – \frac{L^2}{n \pi} sen\left( \frac{2n \pi}{L} x \right) \right]}.$$

4) Considere uma corda vibrante de tamanho L=30 que satisfaz a equação diferencial $$4\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\;\;\;0< x <30\;\;\; ,t>0$$, com condições de contorno iguais a u(0,t) = 0 e u(30,t) = 0 para todo t e e condições iniciais dadas por
$$u(x,0) = f(x)= \left\{\begin{array}{rl}
x/10; & 0 \leq x \leq 10\\
\\
(30 – x)/20; & 10 \leq x \leq 30 \\
\\
\end{array}\right.$$ e $$\frac{\partial u}{\partial t} \left|_{t=0} = 0\right. . $$ Encontre a solução da equação das vibrações da corda elástica que satisfaça as condições de contorno e iniciais por meio de séries de Fourier.

SOLUÇÃO: Pela solução geral da equação da onda obtida neste artigo, usando c= 2 e L = 30 , isto é,  $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{c_n sen\left(\frac{n \pi x}{30} \right) cosn\left(\frac{2n \pi t}{30} \right)},$$ onde c_n é calculado usando o coeficiente da série de Fourier de senos, ou seja, $$ c_n = \frac{1}{15}\int\limits_{0}^{10}{\frac{x}{10}sen\left(\frac{n \pi x}{30} \right)dx} + \frac{1}{15}\int\limits_{0}^{10}{\frac{30-x}{20}sen\left(\frac{n \pi x}{30} \right)dx}.$$ Calculando as integrais encontramos $$ c_n = \frac{9}{n^2 \pi ^2} sen\left(\frac{n \pi }{3} \right).$$ Portanto, $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{9}{n^2 \pi ^2} sen\left(\frac{n \pi }{3} \right) sen\left(\frac{n \pi x}{30} \right) cos\left(\frac{2n \pi t}{30} \right)}.$$

5) Encontre a solução da equação da onda $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ correspondente a uma inflexão triangular inicial dada por
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
x & quando& 0<x<\frac{\pi}{2}
\\
\pi-x& quando & \frac{\pi}{2} < x < \pi
\end{array}
\right.$$
e velocidade inicial igual a zero.

SOLUÇÃO: Pela solução geral da equação da onda obtida neste artigo, usando L = \pi , isto é,  $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_n sen\left(\frac{n \pi x}{ \pi} \right) cos\left(\frac{c n \pi t}{\pi} \right)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_n sen\left(n x\right) cos\left(c n t \right)},$$ onde b_n é calculado usando o coeficiente da série de Fourier de senos, ou seja, $$ b_n = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi /2}{x sen\left( n x \right)dx} + \frac{2}{\pi}\int\limits_{\pi /2}^{\pi}{(\pi – x)sen\left(n  x\right)dx} = $$ $$ = \frac{2 sen \left( \frac{\pi n}{2}\right) -\pi n  cos\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2} – \frac{2 sen\left( \frac{\pi n}{2}\right) -\pi n cos\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2} = \frac{4 sen\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2}.$$ Portanto, $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{4 sen\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2} sen\left(\frac{n \pi x}{ \pi} \right) cos\left(\frac{c n \pi t}{\pi} \right)}.$$

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