Equação do Calor Unidimensional numa Haste Finita | Séries de Fourier

Vamos usar a Série de Fourier para solucionar a equação do calor unidimensional dada por $$\frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$ com as condições de contorno $$u(0,t) = 0 = u(L,t), \forall t$$ e a condição inicial $$u(x,0) = f(x).$$

Como Saber Qual Método Usar Neste Caso?

As séries, integrais e transformadas de Fourier podem ser utilizadas para resolver vários problemas de contorno que acorrem na ciência e na engenharia. Uma pergunta natural é: Como podemos saber qual das ferramentas de Fourier utilizar? A resposta não é tão simples, mas poderia ser dada da seguinte maneira:

1) As séries de Fourier são aplicada a problemas que envolvem o domínio de variável entre [0,L];

2) As transformadas de Fourier são aplicadas em problemas onde a variável a ser transformada possui domínio dado por (- \infty , \infty) ;

3) Para aplicarmos uma transformada seno ou cosseno, o domínio de ao menos uma das variáveis no problema deve ser [0 , \infty) . Porém, o fator determinante na escolha entre a transformada seno e a transformada cosseno é o tipo de condição de contorno especificada em zero.

Resolvendo a Equação do Calor Numa Haste Finita

Usaremos o Método da Separação das Variáveis junto às Séries de Fourier para solucionar esse problema. Desta forma, assumindo que a solução é da forma  u(x,t) = F(x) G(t) , o que nos leva à equação $$ F \dot{G} = c^2 F” G$$, o que nos leva a $$\frac{\dot{G}}{c^2 G} = \frac{F”}{F}.$$

Como ambos os lados dependem de apenas uma das variáveis, $$\frac{\dot{G}}{c^2 G} = \frac{F”}{F}=k.$$ Por consequência, encontramos duas equações diferenciais de segunda ordem dadas por

\begin{eqnarray*}
\dot{G}(t) – c^2 k G(t) & = & 0\\
\\
F”(x) – k F(x) & = & 0\\
\end{eqnarray*}

Primeiramente devemos resolver a equação em F . Se k>0 então a equação característica da equação diferencial é dada por $$\lambda ^2 -k = 0$$ que nos fornece uma solução $$F(x) = A e^{-\sqrt{k}x}+Be^{\sqrt{k}x}.$$

Pelas condições iniciais $$F(0) = A + B = 0 \Leftrightarrow A=-B$$ e $$F(l) = A e^{-\sqrt{k}l}+Be^{\sqrt{k}l} = -B e^{-\sqrt{k}l}+Be^{\sqrt{k}l} = 0 \Leftrightarrow B = 0 \Rightarrow A=0,$$ ou seja, F(x) = 0 se k>0.

Desta forma, devemos ter que k<0. Sendo assim, tomando k = -p^2, obtemos $$F(x) = A \cos{px}+B\sin{px}.$$ Pela condições iniciais, $$F(0) = A = 0$$ e $$F(L) = B\sin{pl} = 0 \Leftrightarrow pl = n\pi \Leftrightarrow p = \frac{n \pi}{l}.$$

Desta forma, podemos dizer existem infinitas funções dadas por $$F_n (x) = B \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}$$ que satisfazem a equação acima. Porém, cada solução possui coeficientes B que podem variar de solução para solução. Portanto, é usual escrever $$F_n (x) = B_n \sin{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)}.$$

Já sabemos que $$k = -p^2 = – \left( \frac{n \pi}{l} \right)^2.$$ Assim, $$c^2 k = -\left( c \frac{n \pi}{l} \right)^2 $$ e considerando q = \frac{cn \pi}{l} a equação diferencial dependendo de t é dada por $$\dot{G} – {q_n}^2 G = 0 $$ que tem solução geral dada por $$G_n (t) = C_n e^{-{q_n}^2 t}$$ onde C_n é uma constante.

Desta forma, as funções $$u_n (x,t) = F_n (x) G_n (t) = B_n C_n sen\left( \frac{n \pi x}{L} \right) e^{-{q_n}^2 t}$$ são soluções da equação do calor. Pelo Teorema da Superposição, obtemos $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n (x,t)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{B_n C_n sen\left( \frac{n \pi x}{L} \right) e^{-{q_n}^2 t}}$$ Pela condição inicial temos que $$u(x,0) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n (x,t)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{B_n C_n sen\left( \frac{n \pi x}{L} \right)} = f(x).$$

Portanto, o coeficiente B_n C_n   deve ser o coeficiente da série de senos de Fourier, que é dado por $$B_n C_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L}{f(x) sen \left( \frac{n \pi x}{L} \right) dx}.$$

Exemplo:

1) Encontre a solução para o problema do fluxo de calor $$\frac{\partial u}{\partial t} = 2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2}; \qquad 0<x< \pi, \qquad t>0,$$ $$u(0,t)= u( \pi, t) = 0, \qquad t>0$$ $$u(x,0) = \left\{ \begin{array}{rl} x, & 0 <x \leq \pi /2 \\ \pi -x, & \pi /2 \leq x < \pi \end{array} \right.$$

SOLUÇÃO: Pela solução da a Equação do Calor Unidimensional numa haste finita Usando a Série de Fourier feita neste artigo, podemos concluir que $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n (x,t)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{c_n sen\left( n  x \right) e^{-{2n}^2 t}}$$ onde c_n é o coeficiente da série de Fourier de senos de f(x) : $$ c_n = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi /2}{x sen\left( n x \right)dx} + \frac{2}{\pi}\int\limits_{\pi /2}^{\pi}{(\pi – x)sen\left(n  x\right)dx} = $$ $$ = \frac{2 sen \left( \frac{\pi n}{2}\right) -\pi n  cos\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2} – \frac{2 sen\left( \frac{\pi n}{2}\right) -\pi n cos\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2} = \frac{4 sen\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2}= 4 \frac{(-1)^n  }{\pi (2n +1)^2}.$$ Portanto, $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{4 sen\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2} sen\left( n  x \right) e^{-{2n}^2 t}} = \frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{(-1)^n }{(2n+1)^2} sen\left([2 n +1]  x \right) e^{-(2n +1)^2 t}}$$

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