Equações Diferenciais
Nessa categoria desenvolvemos o conteúdo que envolve a teoria básica e aplicações de equações diferenciais, ordinárias e parciais, transformada de Laplace, séries e transformadas de Fourier.
Além disso, trazemos soluções de equações que modelam fenômenos físicos importantes como as EDOs que governam circuitos elétricos e sistemas mecânicos, além de EDPs que controlam dissipação de calor, ondas e diversos outros fenômenos naturais.
| Abaixo temos os tópicos sobre EQUAÇÕES DIFERENCIAIS abordados em sequência. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado ao conteúdo |
Capítulo 1 – Introdução ao Conceito de Equações Diferenciais
1.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.2 – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.3 – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.4 – 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
Capítulo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem:
2.1 – Teorema da Existência e Unicidade de Soluções e Plano de Fase
2.2 – EDO’s Separáveis
2.2.1 – EDO’s Separáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.2.2 – EDO’s Separáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.2.3 – EDO’s Separáveis | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.3 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem
2.3.1 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.3.2 – EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4 – EDO’s Exatas – Fatores Integrantes
2.4.1 – EDO’s Exatas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.2 – EDO’s Exatas | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.3 – EDO’s Exatas | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.4 – EDO’s Exatas | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.4.5 – EDO’s Exatas | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.5 – EDO’s Lineares
2.5.1 – EDO’s Lineares – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.5.2 – EDO’s Lineares – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
2.6 – EDO’s de Bernoulli e Ricatti
2.6.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos de Bernoulli e Ricatti
2.6.2 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos de Bernoulli
2.7 – Substituições
2.8 – Exercícios Resolvidos
2.8.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem
2.8.2 – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem
2.8.3 – 3ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.4 – 4ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.5. – 5ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.6. – 6ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.7. – 7ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.8.8. – 8ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
2.9 – Aplicações da E.D.O.’s de Primeira Ordem:
2.9.1 – Dinâmica Populacional – Modelos de Malthus, Verhulst (ou logístico) e Gompertz
2.9.2 – A Lei do Resfriamento de Newton
Capítulo 3 – Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
Capítulo 4 – Equações Diferenciais de Segunda Ordem:
4.1 – EDO’s Homogêneas com Coeficientes Constantes
4.1.1 – EDOs 2ª Ordem Homogêneas e Coef. Constantes | Exercícios Resolvidos
4.2 – EDO’s Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes: Método dos Coeficientes Indeterminados.
4.2.1 – Coeficientes Indeterminados | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.2.2 – Coeficientes Indeterminados | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.2.3 – Coeficientes Indeterminados | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.2.4 – Coeficientes Indeterminados | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.2.5 – Coeficientes Indeterminados | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.3 – EDO’s Lineares: O Princípio da Superposição
4.3.1 – O Princípio da Superposição – Exercícios Resolvidos
4.4 – EDO’s Homogêneas: Conjunto Fundamental de Soluções e Wronskiano
4.4.1 – E.D.O.’s Homogêneas de 2ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.4.2 – E.D.O.’s Homogêneas de 2ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.5 – O Método da Redução de Ordem
4.5.1 – 1ª Lista de Exercícios
4.6 – A Equação de Euler-Cauchy
4.7 – Equações de 2ª Ordem tem o termo y(t)
4.8 – EDO’s Lineares: O Método da Variação dos Parâmetros
4.8.1 – Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.2 – Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.3 – Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.4 – Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.5 – Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.6 – Método da Variação dos Parâmetros | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.8.7 – Método da Variação dos Parâmetros | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
4.9 – Exercícios Resolvidos sobre Equações Lineares de 2ª Ordem
4.9.1 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.2 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.3 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.4 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.5 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos.
4.9.6 – E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos.
Capítulo 5 – A Transformada de Laplace
5.1 – Transformada de Laplace – Definição, exemplos e propriedades
5.1.1 – Transformada de Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.2 – Transformada de Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.3 – Transformada de Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.4 – Transformada de Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.5 – Transformada de Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.1.6 – Transformada de Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.2 – A Transformada de Laplace Inversa
5.2.1 – Transformada de Laplace Inversa | Lista de Exercícios Resolvidos
5.3 – Tabela Completa de Transformadas de Laplace
5.4 – A Função Degrau ou Função de Heaviside
5.4.1 – Função Degrau Unitário | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.4.2 – Função Degrau Unitário | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.5 – A Função Delta de Dirac
5.5.1 – Lista de Exercícios sobre Delta de Dirac
5.6 – A Convolução
5.6.1 – Equação Integral de Volterra
5.6.2 – A Convolução – Lista de Exercícios Resolvidos
5.7 – Propriedade da Derivada de F(s)
5.8 – Transformada de Laplace de Uma Função Periódica
5.9 – Solucionando Equações Diferenciais Ordinárias via Transformada de Laplace
5.9.1 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.2 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.3 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.4 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.5 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.6 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.7 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.8 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.9 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.10 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.11 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.12 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 12ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.13 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 13ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.14 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 14ª Lista de Exercícios Resolvidos
5.9.15 – Resolvendo EDOs por Laplace | 15ª Lista de Exercícios Resolvidos
5 .10 – Transformada de Laplace | Sistema Linear de Equações Diferenciais de 1ª Ordem com Coeficientes Constantes
5.11 – Aplicações da Transformada de Laplace
5.11.1 – Circuitos Elétricos em Série
5.11.2 – Equação Integral de Volterra | Convolução e Transformada de Laplace
5.11.3 – A Solução da Equação da Onda Unidimensional Usando a Transformada de Laplace
Capítulo 6 – Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Por Séries de Potências
6.1 – Introdução à solução de EDOs por Séries de Potência
6.1.1 – E.D.O.’s e as Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
6.2 – E.D.O.’s Por Séries de Potência | Solução em Torno de Pontos Ordinários
6.2.1 – Solução de E.D.O.’s por Séries de Potências em Torno de Pontos Ordinários | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
6.3 – Soluções em Torno de Pontos Singulares: O Método de Frobenius
6.4 – A Equação de Legendre e os Polinômios de Legendre
6.5 – A Equação de Bessel
6.5 – A Equação de Weber e os Polinômios de Hermite
Capítulo 7 – Análise de Fourier
7.1 – Funções Periódicas
7.2 – A Ortogonalidade das Funções Seno e Cosseno
7.3 – Os Coeficientes de Fourier
7.4 – Séries de Fourier – Definição, Exemplos e Condições de Dirichlet
7.4.1 – Séries de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
7.4.2 – Séries de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
7.4.3 – Séries de Fourier | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
7.5 – Séries de Fourier – A Expansão em Meio Intervalo
7.5.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos sobre Expansão em Meio Intervalo
7.6 – Diferenciação e Integração da Série de Fourier
7.7 – A Integral de Fourier – Fator Descontínuo de Dirichlet e Integrais de Laplace
7.7.1 – 1ª Lista de Exercícios Sobre a Integral de Fourier
7.7.2 – 2ª Lista de Exercícios Sobre a Integral de Fourier
7.8 – Transformada de Fourier | Introdução aos conceitos básicos
7.8.1 – Transformada de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
7.8.2 – Transformada de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos.
7.8.3 – Transformada de Fourier | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos.
7.9 – Transformadas Seno e Cosseno de Fourier
7.9.1 – Transformadas Seno e Cosseno de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
7.10 – A Convolução e a Transformada de Fourier
7.11 – A Identidade de Parseval
7.12 – Resolvendo Problemas de Valores de Contorno Usando Séries, Integrais e Transformadas de Fourier
Capítulo 8 – Equações Diferenciais Parciais
8.1 – Uma Introdução às Equações Diferenciais Parciais
Capítulo 9 – A Equação das Ondas
9.1 – Corda Vibrante Finita | A Equação da Onda Unidimensional
9.1.1 – 1ª Lista de Exercícios
9.2 – A Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita
Capítulo 10 – A Equação do Calor
10.1 – Resolvendo Equação do Calor Unidimensional numa Haste Finita Usando as Séries de Fourier
10.2 – Resolvendo A Equação do Calor Numa Haste Infinita Usando a Transformada de Fourier
10. 3 – Resolvendo a Equação do Calor Numa Haste Semi-Infinita Usando a Integral de Fourier
10. 4 – Resolvendo a Equação do Calor Numa Chapa Semi-Infinita Usando a Transformada Cosseno de Fourier
Capítulo 11 – Aplicações dos Sistemas de Equações Diferenciais
11.1 – Modelo SIS de Propagação de Infecção | Matemática Aplicada à Epidemiologia
Apêndice 1 – Funções Especiais
A.1 Funções Especiais | Gama, Beta, Erro, Exponencial Integral, Seno e Cosseno Integral, Funções de Fresnel
A.2 A Função Gama
A.2.1 Função Gama | Lista de Exercícios Resolvidos
A.3 A Função Erro de Gauss
A.4 A Função Beta | Definição, Propriedades e Exercícios Resolvidos
Bibliografia
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Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
ÁVILA, G. Variáveis Complexas e Aplicações, LTC, Rio de Janeiro,1990
BOYCE, W.; DIPRIMA R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,2002
BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.
EDWARDS, C. H.; PENNEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,1995.
THOMAS, G. B. Cálculo, Editora Pearson Education, São Paulo, 2002.
ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Editora Pioneira –
Thomson Learning, São Paulo, 2003.
SPIEGEL, M. R. Análise de Fourier, McGraw-Hill, São Paulo, 1976.
KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
As Séries de Fourier e a Transformada de Fourier são técnicas essenciais em métodos matemáticos e engenharia, usadas para resolver equações diferenciais parciais, como a equação da onda e a equação do calor. Elas facilitam a decomposição de problemas complexos em termos de frequências, permitindo a solução de problemas de valores de contorno. Este artigo explora exemplos práticos e exercícios resolvidos para ilustrar como essas ferramentas são aplicadas na análise de sinais, transferência de calor e vibrações. Além disso, mostramos como métodos como separação de variáveis e expansão de Fourier são cruciais para compreender essas equações.
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