Integral de Superfície | Teoremas de Stokes e da Divergência

Neste artigo queremos apresentar e exemplificar os teoremas de Stokes e da Divergência que que amarram as Integrais de Superfície às Integrais Triplas e Integrais de Linha. De certa forma, as Integrais de Superfície são generalizações das Integrais de Linha, pois a lógica é análoga.

Se definimos as Integrais de Linha usando a parametrização de curvas, agora usaremos as parametrizações das superfícies. Até por isso, é importante que o leitor tenha um conhecimento prévio do estudo básicos das superfícies.

Leia Mais: Introdução às Superfícies: Parametrização, Suavidade e Cálculo de Área.

Além disso, as Integrais de Superfície também serão separadas entre as integrais de campos escalares sobre uma superfície e as integrais de campos vetoriais.

Leia Mais: Integral de Superfície | Campos Escalares, Campos Vetoriais e Fluxos

TEOREMA DE STOKES

Sob certas condições, uma integral curvilínea no plano pode ser transformada em uma integral duplas pelo Teorema de Green.

Desse modo, o Teorema de Stokes constitui uma generalização do Teorema de Greem para o espaço tridimensional e pode ser utilizado para transformas determinadas integrais curvilíneas em integrais de superfície ou vice-versa.

Esse teorema é de grande importância em aplicações físicas.

TEOREMA DE STOKES: 

Seja S uma superfície orientável, suave por partes, delimitada por uma curva fechada, simples, suave por partes C. Então, se \vec{g} é um campo vetorial contínuo, com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio que contém S U C, temos que

$$ \int\limits_{S}\int{rot \vec{g} . \vec{n} dS} = \oint\limits_{C}{\vec{g}.\vec{dr}}$$

onde a orientação ao longo de C é efetuada no sentido positivo determinado pela orientação de S como mostra a figura abaixo.

Observe que se \vec{g} = (g_1, g_2, g_3), então a relação dada pelo Teorema de Stokes pode ser dada por $$ \oint\limits_{C}{(g_1 dx + g_2 dy +g_3dz)} = $$ $$=  \int\limits_{S}\int{ \left[ \left( \frac{\partial g_3}{\partial y} – \frac{\partial g_2}{\partial z} \right)dydz + \left( \frac{\partial g_1}{\partial z} – \frac{\partial g_3}{\partial x} \right) dzdx + \left( \frac{\partial g_2}{\partial x} – \frac{\partial g_1}{\partial y} \right)dxdy \right]}.$$

Obviamente, a demonstração do Teorema de Stokes se vale de resultados muito elaborados que fogem ao objetivo deste artigo. Porém, o leitor mais curioso com o rigor matemático pode procurar uma livro de análise para ter uma demonstração detalhada.

Observe, nesse caso que se estamos falando de um campo planar \vec{g} (x,y)= (g_1 (x,y), g_2 (x,y)) então $$ rot \vec{g} = \left( \frac{\partial g_2}{\partial x} – \frac{\partial g_1}{\partial y} \right) \vec{k}, $$ o que nos leva ao Teorema de Green no Plano:

Teorema de Green no Plano

Seja R uma região fechada e limitada no plano xy cuja fronteira consiste de uma quantidade finita de curvas regulares. Sejam f(x,y) e g(x,y) funções contínuas e cujas derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial g}{\partial x} também são contínuas em algum domínio R. Então: $$\int\limits_{R} \int \left( \frac{\partial g}{\partial x} – \frac{\partial f}{\partial y} \right) dx dy= \oint\limits_{C}\left( fdx +gdy \right).$$

Ou seja, o Teorema de Green no Plano é um caso particular do Teorema de Stokes. Através dele, Integrais duplas sobre uma região plana podem ser transformadas em integrais de linha sobre uma região limitada a vice-versa.

EXEMPLO

Considere o campo vetorial \vec{F}(x,y) = (y+x^2\cos{x}, 2x-y^2\sin{y}).

Vamos utilizar o Teorema de Green no plano para calcular $$\oint\limits_{C}{F(P).dP}$$ onde C é a circunferência com centro em (0,0) e raio igual a 1:

\begin{eqnarray*}
\oint\limits_{C}{F(P).dP} & = & \int\limits_{R} \int \left( 2 – 1\right) dx dy\\
& = & \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{1}r dr d\theta\\
& = & \pi
\end{eqnarray*}

Observe que se fossemos efetuar o cálculo desta integral de linha como usualmente fazemos teriamos que solucionar a integral
$$\int\limits_{0}^{2\pi}{\left[ -(\sin{t} + \cos^2{t}\cos{(\cos{t})})\sin{t} +(2\cos{t}-\sin^2{t}\sin{(\sin{t})})\cos{t} \right]}dt$$

EXEMPLO

Vamos calcular $$\int\limits_{C}{(y^2dx + z^2 dy + x^2 dz)}$$ onde a C é o contorno da parte do plano x+y+z = a, \;\;a>0, que está no primeiro octante, no sentido anti-horário, usando o Teorema de Stokes.

Primeiramente, vemos na figura abaixo o contorno da curva C, nosso caminho de integração, que é formado por três partes suaves.

Pelo método direto das Integrais de Linha devemos calcular três integrais, mas pelo Teorema de Stokes podemos transformá-la em uma única Integral de Superfície.

Para isso, vamos escolher a superfície que é delimitada pela curva C e orienta-la de forma que possamos aplicar o Teorema.

Como a curva é plana, iremos considerar o plano que contém a curva C e como na figura acima consideramos o vetor normal superior à superfície.

Assim usando a equação $$ \oint\limits_{C}{(g_1 dx + g_2 dy +g_3dz)} = $$ $$=  \int\limits_{S}\int{ \left[ \left( \frac{\partial g_3}{\partial y} – \frac{\partial g_2}{\partial z} \right)dydz + \left( \frac{\partial g_1}{\partial z} – \frac{\partial g_3}{\partial x} \right) dzdx + \left( \frac{\partial g_2}{\partial x} – \frac{\partial g_1}{\partial y} \right)dxdy \right]},$$ obtemos que $$\int\limits_{C}{(y^2dx + z^2 dy + x^2 dz) = \int\limits_{S}\int{(-2zdydz-2xdzdx-2ydxdy)} }=$$ $$= \int\limits_{R}\int{-\{[(-2)(a-x-y)(-1)]-(-2x)(-1)-2y\}dxdy} = -2a \int\limits_{R}\int{dxdy} $$ onde R é a projeção de S sobre o plano xv, ou seja, o triângulo de vértices (0,0), (a,0) e (0, a).

Portanto, $$\int\limits_{C}{(y^2dx + z^2 dy + x^2 dz)} = -2a \int\limits_{R}\int{dxdy}= -a^3$$

TEOREMA DA DIVERGÊNCIA

Sob certas condições, uma integral curvilínea no plano pode ser transformada em uma integral duplas pelo Teorema de Green.

O Teorema da Divergência expressa uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido e uma integral de superfície sobre a fronteira desse sólido.

Este teorema é conhecido como Teorema de Gauss e é de grande importância em aplicações físicas.

TEOREMA DA DIVERGÊNCIA (ou de GAUSS): 

Seja t um sólido no espaço, limitado por uma superfícir orientável S. Se \vec{n} é a normal unitária exterior a S e se \vec{f} (x,y,z) = f_1 (x,y,z) \vec{i} + f_2 (x,y,z) \vec{j} + f_3 (x,y,z) \vec{k} é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio que contém T, então

$$ \int\limits_{S}\int{rot \vec{f} . \vec{n} dS} = \int \int\limits_{T} \int{div \vec{f} dV}$$

ou

$$ \int\limits_{S}\int{(f_1dydz + f_2dxdz +f_3 dxdy)} = \int \int\limits_{T} \int{\left( \frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y}  + \frac{\partial f_3}{\partial z} \right) dxdydz }$$

Obviamente, a demonstração do Teorema da Divergência se vale de resultados muito elaborados que fogem ao objetivo deste artigo. Porém, o leitor mais curioso com o rigor matemático pode procurar uma livro de análise para ter uma demonstração detalhada.

EXEMPLO

Vamos calcular $$\int\limits_{S}\int{[(2x-z)dydz + x^2dxdz -xz^2 dxdy)},$$ onde S é a superfície exterior ao cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=1 e z=1.

Observe que se formos calcular essa Integral de Superfície teremos que dividi-la em seis integrais, afinal o cubo é formado por seis superfícies suaves.

Como as seis superfícies suaves formam um sólido T no espaço usaremos o Teorema da Divergência e converteremos essa Integral de Superfície numa Integral Tripla.

Para isso, como mostra na figura consideraremos a normal unitária exterior a S.

Como \vec{f} = (2x-z)\vec{i} + (x^2)\vec{j}  +(-xz^2)\vec{k}   satisfaz as condições do Teorema da Divergência (verifique isso como exercício), então

$$\int\limits_{S}\int{[(2x-z)dydz + x^2dxdz -xz^2 dxdy)} = \int \int\limits_{T} \int{\left( 2 + 0 -2xz\right) dxdydz } =$$ $$=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}{\left( 2 -2xz\right) dxdydz } = \frac{3}{2}.$$

OBSERVAÇÃO

O Teorema da Divergência tem aplicações básicas no fluxo de fluidos, onde ele auxilia a caracterizar fontes e locais de escoamento do fluido. Já na condução de calor, ele modela a equação básica do calor e na teoria potencial esse teorema dá propriedades básicas das soluções da Equação de Laplace.

Listas de Exercícios:

• Teoremas de Stokes e da Divergência | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• Introdução às Superfícies: Parametrização, Suavidade e Cálculo de Área.
• Integral de Superfície | Campos Escalares, Campos Vetoriais e Fluxos
• Integral de Linha de 1ª e 2ª Espécies | Teorema de Green no Plano
• Integrais Duplas | Funções de Várias Variáveis
• As Integrais Triplas | Funções da Várias Variáveis
• Curvas no Espaço | Parametrização, Comprimento de Arco e Deslocamento de Partícula.

Assista Nossas Vídeo-Aulas Sobre os Teoremas de Stokes e da Divergência