A Diferencial | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Numa notação clássica, definimos a diferencial de variáveis independentes x e y como os acréscimos $$dx=x-x_0$$ $$dy=y-y_0$$ e, neste caso, a diferencial de f em (x,y) com relação aos acréscimos dx e dy, é indicada por dz ou df: $$dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) dx + \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dy.$$ A definição de diferencial pode ser estendida para uma função com três ou mais variáveis.

É importante notar que a expressão $$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$$ só merece o nome de “diferencial” quando a função f  for realmente diferenciável. Não basta que f tenha derivadas parciais.

O símbolo \Delta z é utilizado para representar a variação em f, quando se passa de (x,y) para (x+dx, y+dy), ou seja, $$\Delta z = f(x+dx, y+dy) – f(x,y).$$ Desta forma, podemos assumir a aproximação $$\Delta z \cong dz.$$

1ª Lista Exercícios Resolvidos Sobre Diferencial de Funções de Várias Variáveis

1) Encontre, se possível, a diferencial de cada uma das funções.

a) f(x,y) = 5x^4y^2+xy^3+4

SOLUÇÃO: Como $$\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 20x^3y^2+y^3\;\;\;e\;\;\;\frac{\partial f}{\partial y} (x,y) = 10x^4y+3xy^2$$ então $$df = (20x^3y^2+y^3)dx + (10x^4y+3xy^2)dy$$

b) z = x^2 ln\left( 1+x^2+y^2 \right)

SOLUÇÃO: Nesse caso, como $$\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = \frac{2x^3}{1+x^2+y^2} +2x \ln(1+x^2+y^2)$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} (x,y) =\frac{x^2}{1+x^2+y^2} +2y$$ então $$df = \left(  \frac{2x^3}{1+x^2+y^2} +2x \ln(1+x^2+y^2) \right)dx + \left( \frac{x^2}{1+x^2+y^2} +2y \right)dy$$

c) f(x,y)=\dfrac{x}{y}

SOLUÇÃO: Considerando que $$\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 1/y\;\;\;e\;\;\;\frac{\partial f}{\partial y} (x,y) = -x/y^2$$ então $$df = (1/y)dx + (-x/y^2)dy$$

d) f(x,y) = e^x y^2

SOLUÇÃO: Como f(x,y) é diferenciável então a diferencial desta função é dada por \begin{eqnarray} df & = & \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \\ & = & \left[{e}^{x}\,{y}^{2}\right]dx+ \left[2\,{e}^{x}\,y\right] dy \end{eqnarray}

e) f(x,y) = x^2 \sqrt{1 + xy^2}

SOLUÇÃO: Como f(x,y) é diferenciável então a diferencial desta função é dada por \begin{eqnarray} df & = & \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \\ & = & \left[ \frac{5\,{x}^{2}\,{y}^{2}+4\,x}{2\,\sqrt{x\,{y}^{2}+1}}  \right]dx+ \left[  \frac{{x}^{3}\,y}{\sqrt{x\,{y}^{2}+1}}  \right] dy \end{eqnarray}

f) f(x,y,z) = x^2 y^3 z^4 ;

SOLUÇÃO: Como f(x,y) é diferenciável então a diferencial desta função é dada por \begin{eqnarray} df & = & \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \\ & = & \left[ 2\,x\,{y}^{3}\,{z}^{4}  \right]dx+ \left[ 3\,{x}^{2}\,{y}^{2}\,{z}^{4}   \right] dy + \left[  4\,{x}^{2}\,{y}^{3}\,{z}^{3}  \right] dz \end{eqnarray}

2) Um tanque cilíndrico metálico tem altura 1.2 m e raio 80 cm em suas dimensões internas. Se a espessura das paredes é de 5 mm, calcule, usando a diferencial, a quantidade aproximada de metal usada na construção do tanque.

SOLUÇÃO: Observe que $$V = \pi r^2 h; \qquad dv = 2 \pi r h dr + \pi r^2 dh$$

Como r = 80 cm , h = 120 cm , dr = 0,5 cm e dh = 2 \times 0,5 cm = 1 cm, então, temos que $$dV = 3030159,36 + 20106,24 = 50265,6 cm^3 .$$

3) Calcule a diferencial da função f(x,y,z) = x^2 y z + 2x - 2y no ponto \left( 1,2, \frac{1}{2} \right).

SOLUÇÃO:  Vamos calcular a diferencial de f(x,y,z) no ponto \left( 1, 2, \frac{1}{2} \right):

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y,z) & = & 2xyz+2\\
\\
\\
\frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) & = & x^2z-2\\
\\
\\
\frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) & = & x^2y\\
\end{eqnarray*}

Assim,

$$T(x-1, y-2, z-\frac{1}{2}) = \frac{\partial f}{\partial x}\left( 1, 2, \frac{1}{2} \right) [x-1] + \frac{\partial f}{\partial y} \left( 1, 2, \frac{1}{2} \right) [y-2]+ \frac{\partial f}{\partial z} \left( 1, 2, \frac{1}{2} \right) [z-\frac{1}{2}].$$

$$T(x-1, y-2, z-\frac{1}{2}) = 4 [x-1] – \frac{3}{2}[y-2] + 2 [z-\frac{1}{2}].$$

Na notação clássica, $$df\left(1, 2, \frac{1}{2}\right) = 4 dx – \frac{3}{2}dy + 2 dz$$

4) Dois lados de uma área triangular medem x = 200m e y = 220 m, com possíveis erros de 10 cm. O ângulo \alpha por eles formado é de 60º com possível erro de 1º. Calcule o erro aproximado da área triangular usando a diferencial. (Sugestão: encontre a função f(x,y, \alpha ), com \alpha em radianos, que descreve a área.)

SOLUÇÃO: Considere f(x,y, \alpha ) como a função da área do triângulo que tem lados x e y, e com \alpha como o ângulo formado por eles. Desta forma, da geometria sabemos que $$ f(x,y, \alpha ) = \frac{xy sen ( \alpha )}{2} .$$ O triângulo do nosso problema pode ser ilustrado pela figura abaixo:

Assumindo x = 200 m, \;\;y= 220 m e \alpha =  \dfrac{\pi}{3} rad (lembre-se que funções trigonométricas são sempre aplicadas em ângulos com medida em radianos), então podemos calcular a área deste triângulo como sendo $$ f \left(200, 220, \frac{ \pi}{3} \right) = \frac{200 \times 220 \times sen\left(\frac{ \pi}{3} \right)   }{2} = \\ = 11 000 \sqrt{3} m^2 \approx 19052,56 m^2.$$

O erro aproximado deste valor de área será dado pela diferencial de f(x,y \alpha ) : \begin{eqnarray} df & = & \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial \alpha } d\alpha \\ & = & \frac{y sen ( \alpha )}{2} dx+ \frac{x sen ( \alpha )}{2} dy + \frac{xy cos ( \alpha )}{2} d \alpha \end{eqnarray}

Agora, observado que em metros dx = dy = 10 cm = 0,1 \;m e em radianos d \alpha = 1º \approx 0,01745 rad, obtemos como erro aproximado desta área: \begin{eqnarray} df & = & \frac{y sen ( \alpha )}{2} dx+ \frac{x sen ( \alpha )}{2} dy + \frac{xy cos ( \alpha )}{2} d \alpha\\ & = & \frac{220 \times \frac{ \sqrt{3}}{2}}{2} \times 0,1+ \frac{200 \times \frac{ \sqrt{3}}{2}}{2} \times 0,1 + \frac{220 \times 200 \times \frac{ 1}{2}}{2} \times 0,01745 \\ & \approx  & 210,14 m^2& \end{eqnarray}

5) Um observador vê o topo de uma torre sob um ângulo de elevação de 30° com um possível erro de 10′. Sua distância da torre é de 300 m com possível erro de 10 cm. Qual a altura aproximada da torre e seu possível erro? (Dica: Use a diferencial e propriedades do triângulo retângulo)

SOLUÇÃO: Considerando o triângulo retângulo abaixo que esquematiza o problema do enunciado nos diz, por propriedades básicas da trigonometria, que $$ tg( \theta ) = \frac{cateto\;\;oposto}{cateto\;\;adjacente} = \frac{h}{x} \Leftrightarrow h = x tg( \theta ).$$

Usando h = x tg( \theta ) para calcular a altura, onde x = 300 m e \theta = \pi / 6 rad encontramos $$ h = 300 m \times  tg( \pi / 6 ) = 300 m \times \frac{\sqrt{3} }{3} = 100 \sqrt{3} m$$ O erro aproximado é dado pela diferencial $$dh = \left[ tg( \theta ) \right] dx + \frac{x}{cos^2 ( \theta )} d \theta ,$$ onde dx = 10 cm e d \theta = 10' \approx 0,003 rad. Ou seja, $$dh = \left[ tg( \pi / 6 ) \right] \times 0,1 + \frac{300}{cos^2 ( \pi / 6 )} \times 0,003 = \\ = \frac{\sqrt{3} }{3} \times 0,1 +  \frac{300}{3/4} \times 0,003 \approx 1,257735 m$$

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