Integral de Linha Independente do Caminho | Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo quero apresentar uma lista de exercícios resolvidos sobre integrais de linha independentes do caminho, sejam os caminhos integração abertos ou fechados.

Seja \vec{f} um campo vetorial em um domínio D do espaço. A Integral $$ \int\limits_{C}{\vec{f} \cdot d \vec{r}} $$ é dita independente do caminho de integração em D se, para qualquer par de pontos A e B. 

Se \vec{f} = \left( f_1 , f_2, f_3 \right) é um campo vetorial em um domínio conexo U \subset \mathbb{R}^3 , são equivalentes as três afirmações seguintes:

1) \vec{f} é um campo conservativo em U \subset \mathbb{R}^3 ;

2) A integral de linha de \vec{f} é independente do caminho de integração em U \subset \mathbb{R}^3 ;

3) A integral de linha de \vec{f} ao redor de todo caminho fechado em U \subset \mathbb{R}^3 é igual a zero.

Pode-se ainda mostrar que se u = u \left( x , y, z \right) é uma função diferenciável em um domínio conexo U \subset \mathbb{R}^3 , tal que que \vec{f} = \nabla u é contínuo em U , então $$ \int\limits_{C}{\vec{f} \cdot d \vec{r}} = u(B) – u(A)$$ para qualquer caminho C em U , unindo o ponto A ao ponto B.

Lista de Exercícios Resolvidos sobre Integral de Linha Independente do Caminho

1) Calcule a integral $$ \int\limits_{C}{\vec{f} \cdot d \vec{r}} ,$$ onde \vec{f} = (yz+2)\vec{i}+(xz+1)\vec{j}+(xy+2z) \vec{k} , ao longo de qualquer caminho que une o ponto A(0,01) e B(1,2,1).

SOLUÇÃO: Observando que \vec{f} é o gradiente da função $$ u(x,y,z) = xyz+2x+y+z^2+c $$ então podemos garantir que $$ \int\limits_{C}{\vec{f} \cdot d \vec{r}}  =  \int\limits_{C}{(yz+2)dx+(xz+1)dy+(xy+2z) dz} = \\ = u(1,2,1) – u(0,0,1) = 6 $$

2) Verificar que o campo vetorial \vec{f} = \text{sen}(x) \vec{i}-2yz\vec{j}-y^2 \vec{k}, é um campo conservativo em \mathbb{R} ^3 . Em seguida, calcule \int\limits_{C}{\vec{f} \cdot d \vec{r}} ao longo de qualquer caminho que ligue os pontos A(0,2,0) até B(2,2,4).

SOLUÇÃO: O campo vetorial \vec{f} tem como funções componentes $$ f_1 (x,y,z) = \text{sen}(x) \\ f_2(x,y,z) = -2yz \\ f_3 (x,y,z) = -y^2 .$$ Desta forma, $$ \frac{\partial f_1}{\partial y} = \frac{\partial f_2}{\partial x} = 0 \qquad \frac{\partial f_1}{\partial z} = \frac{\partial f_3}{\partial x} = 0 \qquad \frac{\partial f_2}{\partial z} = \frac{\partial f_3}{\partial y} = -2y, $$ ou seja, \vec{f} admite uma função potencial u , o que faz do campo \vec{f} conservativo.

Para calcular a integral dada, vamos determinar a função potencial u = u(x,y,z) de \vec{f} . Para isso, observamos que $$ \frac{\partial u}{\partial x} =  \text{sen}(x), \qquad \frac{\partial u}{\partial y} =  -2yz, \quad \frac{\partial u}{\partial z} =  -y^2.$$ Logo $$ u = \int{\text{sen}(x)dx} = – \text{cos}(x)+ \alpha (y,z)$$ e derivando esse resultado em relação a y e a igualdade $$ \frac{\partial u}{\partial y} =  -2yz, $$ vem $$ \frac{\partial u}{\partial y} =  \frac{\partial \alpha}{\partial y} = -2yz.$$

Portanto, $$\alpha = \int{-2xydy} = -zy^2 + \beta (z).$$ Substituindo esse resultado na expressão de u , obtemos $$u = -\text{cos}(x) – zy^2 + \beta (z) .$$ Derivando este resultado em relação a z e usando $$ \frac{\partial u}{\partial z} =  -y^2, $$ vem $$ \frac{\partial u}{\partial z} =  -y^2 + \frac{d \beta}{dz} = -y^2, $$ desta forma, $$ \beta(z) = c$$ e, consequentemente, $$u(x,y,z) = -\text{cos}(x) – zy^2  +c .$$

Logo, podemos garantir que $$ \int\limits_{C}{\vec{f} \cdot d \vec{r}}  =  \int\limits_{C}{-\text{sen}(x)dx-2yzdy-y^2 dz} = \\ = u(2,2,4) – u(0,2,0) = – \text{cos}(2) – 15. $$

3) Verificar se $$ \vec{f} = \left( e^{x+y}  +1 \right) \vec{i} + e^{x+y} \vec{j} $$ é um caminho conservativo em \mathbb{R} ^2 . Em caso afirmativo calcular $$\int_{(1,0)}^{(1,1)}{\vec{f} \cdot d \vec{r}}$$ que é a integral de linha ao longo de qualquer caminho de (1,0) a (1,1).

SOLUÇÃO: O campo vetorial \vec{f} é um campo vetorial que f_1 e f_2 são funções contínuas e possuem derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em \mathbb{R} ^2 . Como $$ \frac{\partial f_1}{\partial y} = \frac{\partial f_2}{\partial x} = e^{x+y},$$ \vec{f} admite uma função potencial u o que garante que este é um campo conservativo.

Portanto, $$\int_{(1,0)}^{(1,1)}{\vec{f} \cdot d \vec{r}}$$ é independente do caminho de integração em \mathbb{R} ^2 . Para calcular a integral, vamos encontrar a função potencial u . Como $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \left( e^{x+y}  +1 \right) \qquad \text{e} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = e^{x+y} $$ e integrando $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \left( e^{x+y}  +1 \right) $$ em relação a x , obtemos $$ u = \int{\left( e^{x+y}  +1 \right)dx} = e^{x+y}  +x+ \alpha (y).$$

Derivando este resultado em relação a y e usando a igualdade $$\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x+y}  $$ obtemos $$ \frac{\partial u}{\partial y} = e^{x+y} +0 + \frac{d \alpha }{d y} = e^{x+y}.$$ Logo, \alpha (y) = c , chegando enfim a $$u(x,y) = e^{x+y} +x +c .$$ Assim, $$\int_{(1,0)}^{(1,1)}{\vec{f} \cdot d \vec{r}} = \int_{(1,0)}^{(1,1)}{ \left( e^{x+y} +1 \right) dx + e^{x+y} dy} = \\ = u(1,1) – u(1,0) = e^2 -e .$$

4) Calcule $$ I = \int\limits_{C}{2xyz^2dx + [x^2z^2+z \text{cos} (yz)]dy + [2x^2yz+y\text{cos} (yz)]dz }$$ em qualquer caminho de P(0,0,1) e Q(1, \pi / 4 ,2) .

SOLUÇÃO: Como f_1 (x,y,z) = 2xyz^2 , f_2 (x,y,z) = x^2z^2+z \text{cos} (yz) e f_3 (x,y,z) = 2x^2yz+y\text{cos} (yz) são funções contínuas e com derivadas parciais contínuas em todo o plano, então a integral $$ I = \int\limits_{C}{2xyz^2dx + [x^2z^2+z \text{cos} (yz)]dy + [2x^2yz+y\text{cos} (yz)]dz }$$ é independente de qualquer caminho de P(0,0,1) e Q(1, \pi / 4 ,2) .

Logo, podemos encontrar uma função u(x,y,z) = x^2yz^2+y\text{sen}(yz) +c que o potencial do campo conservativo formado por \vec{f} = \left( f_1 , f_2 , f_3 \right) . Desta forma, $$ I = \int\limits_{C}{2xyz^2dx + [x^2z^2+z \text{cos} (yz)]dy + [2x^2yz+y\text{cos} (yz)]dz } = \\ = u(1, \pi / 4 ,2) – u(0,0,1) = \pi +1$$

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