Integrais Duplas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

As integrais duplas são calculadas usando o Teorema de Fubini: Seja f(x,y) integrável no retângulo R=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 ; a \leq x \leq b, c\leq y \leq d \}. Suponhamos que as integrais $$\int_{a}^{b}{f(x,y)dx}, \forall y\in[c,d]$$ e $$\int_{c}^{d}{f(x,y)dy}, \forall x \in[a,b].$$ Então, $$\int_{c}^{d} \int_{a}^{b}{f(x,y)dx} dy = \int_{c}^{d}\left( \int_{a}^{b}{f(x,y)dx} \right) dy = \int_{a}^{b}\left( \int_{c}^{d}{f(x,y)dy} \right) dx.$$

As integrais duplas possuem propriedades comuns às integrais simples. A linearidade da integral dupla se expressa através das equações: $$\int \int_{R}{c f(x,y)}dxdy = c \int \int_{R}{f(x,y)}dxdy$$ $$\int \int_{R}{f(x,y)+g(x,y)}dxdy. = \int \int_{R}{f(x,y)}dxdy + \int \int_{R}{g(x,y)}dxdy,$$ onde c é uma constante e f e g são contínuas no dóminio fechado e limitado R.

Além disso, se R = R_1 \cup R_2, então $$\int \int_{R}{f(x,y)}dxdy. = \int \int_{R}{f(x,y)}dxdy + \int \int_{R_2}{f(x,y)}dxdy.$$ Se f(x,y) \geq g(x,y), \forall (x,y) \in R, então $$\int \int_{R}{f(x,y)}dxdy \geq \int \int_{R}{g(x,y)}dxdy,$$ por consequência, se f(x,y) \geq 0 teremos $$\int \int_{R}{f(x,y)}dxdy \geq 0.$$

1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Integrais Duplas

1. Calcule \int\limits_{R} \int{f(x,y)dxdy} onde:

(a) f(x,y) = xe^{xy} e R é o retângulo limitado por 1 \leq x \leq 3 e 0 \leq y \leq 1.

$$\int\limits_{R} \int{f(x,y)dxdy} = \int_{1}^{3} \int_{0}^{1} {xe^{xy}dxdy} = \int_{1}^{3}{\left[ \frac{xe^{xy}}{x} \right]_{0}^{1}dx} = $$ $$= \int_{1}^{3}{\left[ e^{xy} \right]_{0}^{1}dx} =  \int_{1}^{3}{(e^x -1)dx } = e^3-e-2$$

(b) f(x,y) = x\cos{xy} e R é o retângulo limitado por 0 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq \pi / 2.

$$\int\limits_{R} \int{f(x,y)dxdy} =  \int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi /2}{xcos(xy)dydx} = \int_{0}^{2}{sen \left( \frac{\pi}{2} x \right) dx} =\frac{4}{\pi}$$

(c) f(x,y) = 8-x-y e R é a região delimitada por y=x^2 e y=4.

A região R pode ser escrita como $$-2\leq x \leq 2$$ $$x^2 \leq y \leq 4$$, como pode ser visto pelo esboço abaixo:

Assim, $$ \int\limits_{R} \int{f(x,y)dxdy} =  \int_{-2}^{2} \int_{x^2}^{4}{(8-x-y)dydx} = \int_{-2}^{2}{\left( \frac{x^4}{2} +x^3 – 8x^2 -4x +24 \right)dx} = \frac{896}{15}$$

(d) f(x,y) = 2x+y e R é a região delimitada por x=y^2 - 1, y=-1, y=2 e x=5.

Observe que pelo esboço da região R será necessário dividir a Região R em duas partes:

Assim, R_1 é dada por $$ y^2-1 \leq x \leq 3 $$ $$-1 \leq y \leq 2$$ e a região R_2 é dada por $$ 3 \leq x \leq 5 $$ $$-1 \leq y \leq 2.$$

Logo, $$\int\limits_{R} \int{f(x,y)dxdy} =  \int_{-1}^{2} \int_{y^2-1}^{3}{(2x+y)dydx} + \int_{3}^{5} \int_{-1}^{2}{(2x+y)dydx} = \frac{752}{15} + 51$$

2. Esboce a região de integração R, inverta a ordem de integração e calcule as integrais abaixo:

(a) \int\limits_{0}^{2} \int\limits_{-y}^{y}{(xy^2 + x)dxdy}

Desta forma, a região R é dada por $$-y \leq x \leq y$$ $$0 \leq y \leq 2$$ e pode ser vista esboçada no gráfico abaixo:

Para inverter a ordem de integração precisaremos dividir essa região em duas partes como está feito em duas cores diferentes no esboço acima.

Desta forma, R_1 é dada por $$-2 \leq x \leq 0 $$ $$-x \leq y \leq 2$$ e a região R_2 é dada por $$ 0 \leq x \leq 2 $$ $$x \leq y \leq 2.$$

Portanto, $$\int\limits_{0}^{2} \int\limits_{-y}^{y}{(xy^2 + x)dxdy }=  \int_{-2}^{0} \int_{-x}^{2}{(xy^2+x)dydx} + \int_{0}^{2} \int_{x}^{2}{(xy^2+x)dydx} = 0$$

(b) \int\limits_{1}^{e} \int\limits_{\ln{x}}^{1}{(x)dydx}

Como dado no enunciado, a região R é dada por $$1 \leq x \leq e$$ $$ \ln(x) \leq y \leq 1$$ e pode ser vista esboçada no gráfico abaixo:

A inversão da ordem de integração é dada reescrevendo a região R da forma que segue: $$1 \leq x \leq e^y$$ $$0 \leq y \leq 1.$$

Assim, $$\int\limits_{1}^{e} \int\limits_{\ln{x}}^{1}{(x)dydx} =  \int_{0}^{1} \int_{1}^{e^y}{(x)dxdy} = \frac{e^2 – 1}{4}$$

2. Calcular \int\limits_{R} \int{(x+y)dxdy} onde R é a região descrita na figura abaixo.

Neste caso devemos dividir a região R da seguinte maneira:

1. R_1 é dada por $$ 0 \leq x \leq \frac{1}{2} $$ $$\frac{x}{4} \leq y \leq 2x$$
2. R_2 é dada por $$ \frac{1}{2} \leq x \leq 2 $$ $$\frac{x}{4} \leq y \leq \frac{1}{x}.$$

Assim, $$\int\limits_{R} \int{(x+y)dxdy} = \int\limits_{R_1} \int{(x+y)dxdy} + \int\limits_{R_2} \int{(x+y)dxdy}=$$ $$= \int_{0}^{1/2} \int_{x/4}^{2x}{(x+y)dydx} + \int_{1/2}^{2} \int_{x/4}^{1/x} {(x+y)}dydx = \frac{119}{168} + \frac{387}{256}$$

3. Calcule $$\int\limits_{R}\int{e^{x^2}dydx},$$ onde R é a região triangular com vértices dados por O(0,0), A(1,1) e B(1,0).

SOLUÇÃO: Nesse caso devemos integrar primeiro em relação à variável y, pois a função que depende apenas x não tem primitiva. Assim,

$$\int\limits_{R}\int{e^{x^2}dydx} = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x}{e^{x^2}dydx} = \int\limits_{0}^{1}{xe^{x^2}}dx = \frac{e -1}{2}.$$

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