Os Espaços Euclidianos R² e R³ | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a \mathbb{R}. Ou seja,

1.  \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}. Pode ser geometricamente representado pelo plano cartesiano.
2. \mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}. Pode ser geometricamente representado pelo eixo tridimensional.

Aqui queremos apresentar uma primeira lista de exercícios resolvidos envolvendo matemáticos objetos comuns a espaços euclidianos, como retas, planos e pontos e particularidades inerentes a estes conceitos.

Os Espaços Euclidianos R² e R³ – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1. Calcule a distância entre os dois pontos dados, em cada caso.

a) A(1,0,-2) e B(-2,-3,-1)

d(A,B) = ||(1,0,-2) - (-2,-3,-1)|| = \sqrt{19}

b) A(1/2,-1,-1/3) e B(-1,1/2,-3/2)

d(A,B) = ||(1/2,-1,-1/3) - (-1,1/2,-3/2)|| = \frac{\sqrt{19}}{2}

2. Mostre que os pontos A(1,0,1), B(0,1,-1) e C(3,4,2) são vértices de um triângulo retângulo.

Note que $$\vec{AB} . \vec{AC} = (-1,1,-2).(2,4,1) = 0,$$ ou seja, temos um ângulo reto entre esses dois vetores. Assim, os dois lados determinados por esses dois lados são de um triângulo retângulo.

3. Determine o ponto P tal que AP = 3AB, onde A=(10,7,3) e B=(2,-1,5).

Para que AP = 3AB, precisamos que $$(x-10, y-7, z-3) = (-24,-24,6).$$ Logo $$x=-14,\;\;\; y= -17,\;\;\;e\;\;\;z=9$$ são as coordenadas do ponto pedido.

4. Determine o ponto médio de segmento AB, onde A=(1,-1,2) e B=(3,-5,-4).

$$P_m = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{-5-1}{2}, \frac{-4+2}{2} \right) = (2,-3,-1).$$

5. Determine o ângulo entre os vetores dados:

a) u=(1,1,0) e v=(0,1,1)

$$\cos{\theta}=\frac{(1,1,0).(0,1,1)}{\left\|(1,1,0)\right\| \left\|(0,1,1)\right\|} = 1/2.$$ Logo \theta = arccos(1/2) = \pi /3.

b) u=(1,1,1/2) e v=(0,1,4)

$$\cos{\theta}=\frac{(1,1,1/2).(0,1,4)}{\left\|(1,1,1/2)\right\| \left\|(0,1,4)\right\|} = 2/ \sqrt{17}.$$ Logo \theta = arccos(2/ \sqrt{17}).

c) u=(-1,2,3) e v=(2,-1,0)

$$\cos{\theta}=\frac{(-1,2,3).(2,-1,0)}{\left\|(-1,2,3)\right\| \left\|(2,-1,0)\right\|} = -4/ \sqrt{70}.$$ Logo \theta = arccos(-4/ \sqrt{70}).

d) u=(-2,1,0) e v=(0,-3,2)

$$\cos{\theta}=\frac{(-2,1,0).(0,-3,2)}{\left\|(-2,1,0)\right\| \left\|(0,-3,2)\right\|} = -3/ \sqrt{65}.$$ Logo \theta = arccos(-3/ \sqrt{65}).

6. Determine as equações paramétricas da reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano de equação 2x-y+3z-6=0.

O vetor diretor da reta procurada é o vetor normal ao plano do enunciado. Desta forma, as equações paramétricas da reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano é dada por $$\left\{ \begin{array}{lll}
x & = & 2t\\
y & = & -t\\
z & = & 3t\\
\end{array}
\right.$$

7. Determine o ponto de interseção do plano de equação 2x-y-3z-4=0 com a reta que passa pelo ponto (0,1,-1), na direção do vetor (1,-2,1).

As equações paramétricas da reta do enunciado são dadas por $$\left\{ \begin{array}{lll}
x & = & t\\
y & = & 1 – 2t\\
z & = & -1 + t\\
\end{array}
\right.$$ O ponto de interseção do plano com a reta deve satisfazer às duas equações ao mesmo tempo. Assim, substituindo as equações paramétricas da reta na equação do plano obtemos $$2(t) – (1-2t)-3(-1+t) – 4 = 0 \Rightarrow t=2.$$ Logo, o ponto P(2,-3,1) é o ponto de interseção do plano e da reta.

8. Determine as equações paramétricas das retas interseções dos planos dados:

a) 2x-y-z-1 = 0 e x+y-2z+7 = 0;

Colocando as duas equações num sistema linear, encontramos um sistema possível e indeterminado com soluções dadas por x = z-2 e y = z-5 . Fazendo z=t obtemos as equações paramétricas da reta interseção entre os planos: $$\left\{ \begin{array}{lll}
x & = & -2+t\\
y & = & -5+t\\
z & = & t\\
\end{array}
\right.$$

b) 3x-2y-7 = 0 e 2y+3z+7 = 0;

Colocando as duas equações num sistema linear, encontramos um sistema possível e indeterminado com soluções dadas por y = -\frac{3}{2}z - \frac{7}{2} e x = -z . Fazendo z=t obtemos as equações paramétricas da reta interseção entre os planos: $$\left\{ \begin{array}{lll}
x & = & -t\\
y & = & -\frac{3}{2}t – \frac{7}{2}\\
z & = & t\\
\end{array}
\right.$$

c) x+y = 0 e y+z = 0;

Colocando as duas equações num sistema linear, encontramos um sistema possível e indeterminado com soluções dadas por y = -z e x = z . Fazendo z=t obtemos as equações paramétricas da reta interseção entre os planos: $$\left\{ \begin{array}{lll}
x & = & t\\
y & = & -t\\
z & = & t\\
\end{array}
\right.$$

9. Determine a equação do plano que passa pelos pontos A=(1,-1,2), B=(-1,0,1) e C = (2,1,3).

Dados os três pontos, o vetor normal ao plano que os contem é dado por $$\vec{n} = \vec{AB} ∧ \vec{AC} = (3,1,-5).$$ Assim, a equação geral do plano é dada por $$3x+y-5z +d =0.$$ Substituindo qualquer um dos pontos na equação encontramos d = 8 , ou seja, $$3x+y-5z +8 =0.$$ Observe que essa não é a única forma de resolver esse problema.

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