Limite de Funções de Várias Variáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma segunda lista de exercícios sobre limites de campos escalares, ou seja, funções de várias variáveis a valores reais. Do limite de funções escalares temos as seguintes indeterminações: \frac{0}{0}, +\infty-(+\infty), -\infty-(-\infty), \ 0\cdot\infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{0}, 1^{\infty}, 0^0, \infty^0. Em geral, no limite de funções de várias variáveis nos concentramos na indeterminação \dfrac{0}{0}. Para ler nosso artigo teórico sobre o limite para este tipo de função basta seguir este link.

2ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Limite de Funções de Várias Variáveis

1) Calcule os limites abaixo

a) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (1,2)}{\left( 2xy + x^2 - \dfrac{x}{y}\right)}.

SOLUÇÃO: \begin{eqnarray} \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (1,2)}{\left( 2xy + x^2 – \dfrac{x}{y}\right)} & = & 2 \times 1 \times 2 + 1^2 – \frac{1}{2}\\  & = & \frac{9}{2} \end{eqnarray}

b) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{x^6}{(x^3 + y^2)^2}}.

SOLUÇÃO: Considere a mudança de variáveis x = \alpha t e y = \beta t^{3/2} . Desta forma, quando t \rightarrow 0 então (x,y) \rightarrow (0,0). Substituindo no limite, encontramos \begin{eqnarray} \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^6}{(x^3 + y^2)^2}} & = & \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{\alpha^6 t^6}{(\alpha^3 t^3 + \beta^2 t^3)^2}}\\ & = & \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{\alpha^6 t^6}{t^6 (\alpha^3 + \beta^2 )^2}}\\ & = & \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{\alpha^6 }{ (\alpha^3 + \beta^2 )^2}}\\ & = & \frac{\alpha^6 }{ (\alpha^3 + \beta^2 )^2} \end{eqnarray} Portanto, o limite não existe.

c) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{x+y-1}{\sqrt{x} - \sqrt{1-y}}}.

SOLUÇÃO:  \begin{eqnarray} \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x+y-1}{\sqrt{x} – \sqrt{1-y}}} & = & \frac{0+0-1}{\sqrt{0} – \sqrt{1-0}}\\  & = & 1 \end{eqnarray}

d) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{|x| + |y|}{x^2 + 5 y^2}}.

SOLUÇÃO: Considere a mudança de variáveis x = r cos( \theta ) e y = \frac{r}{\sqrt{5}}sen( \theta ) . Desta forma, quando r \rightarrow 0 então (x,y) \rightarrow (0,0). Substituindo no limite, encontramos

\begin{eqnarray} \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{|x| + |y|}{x^2 + 5 y^2}} & = & \lim\limits_{r \rightarrow 0}{\frac{|r cos( \theta ) | + \left| \frac{r}{\sqrt{5}}sen( \theta ) \right|}{[r cos( \theta )]^2 + 5 \left( \frac{r}{\sqrt{5}}sen( \theta ) \right)^2}} \\ & = & \lim\limits_{r \rightarrow 0}{\frac{|r cos( \theta ) | + \left| \frac{r}{\sqrt{5}}sen( \theta ) \right|}{r^2}} \\ & = & \lim\limits_{r \rightarrow 0}{\frac{|r| \left( |cos( \theta ) | + \left| \frac{1}{\sqrt{5}}sen( \theta ) \right| \right)}{r^2} } \\ & = & \lim\limits_{r \rightarrow 0}{\frac{A}{|r|}}\\  & = & \infty \end{eqnarray} sendo 0 < A \leq 1 + \dfrac{1}{\sqrt{5}} uma constante real.

e) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{sen(xy)}{(x^2 + y^2)}}.

SOLUÇÃO:  Considere a mudança de variáveis x = r cos( \theta ) e y = r sen( \theta ) . Desta forma, quando r \rightarrow 0 então (x,y) \rightarrow (0,0). Substituindo no limite, e usando a regra de L’Hospital, encontramos \begin{eqnarray} \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{sen(xy)}{(x^2 + y^2)}} & = & \lim\limits_{ r \rightarrow 0}{\frac{sen \left( r^2 sen (\theta ) cos( \theta ) \right)}{r^2 (cos^2 ( \theta ) + sen^2 ( \theta ) )}} \\ & = & \lim\limits_{ r \rightarrow 0}{ sen (\theta ) cos( \theta ) cos \left( r^2 sen (\theta ) cos( \theta ) \right) } \\ & = & sen (\theta ) cos( \theta ) \end{eqnarray} Portanto, o limite não existe.

f) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (+ \infty,+ \infty)}{e^{\frac{1}{x+y}}}.

SOLUÇÃO: \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (+ \infty,+ \infty)}{e^{\frac{1}{x+y}}} = e^{\frac{1}{\infty}} = e^0 = 1.

g) \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\dfrac{sen(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}}}

SOLUÇÃO: Novamente, fazemos a mudança de variável $$ x= r cos( \theta)$$ $$ y= r sen( \theta)$$ o que nos leva a $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}}} =$$ $$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r}} = $$ $$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r}} \frac{rcos( \theta) sen( \theta)}{r cos( \theta) sen( \theta)} = $$ $$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r^2 cos( \theta) sen( \theta)}} rcos( \theta) sen( \theta) $$

Agora, fazendo z = r^2 cos( \theta) sen( \theta) , podemos observar que: $$ (r, \theta) \rightarrow (0, 0) \Rightarrow z \rightarrow 0 . $$

Assim, pelo Primeiro Limite Fundamental,

$$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r^2 cos( \theta) sen( \theta)}} = \lim_{z \rightarrow 0}{\frac{sen(z)}{z}} = 1. $$ Portanto,

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}}} =$$ $$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r^2 cos( \theta) sen( \theta)}} rcos( \theta) sen( \theta) = $$ $$= \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(r^2 cos( \theta) sen( \theta))}{r^2 cos( \theta) sen( \theta)}} \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{rcos( \theta) sen( \theta)} = $$ $$ = 1 \times \lim_{(r, \theta) \rightarrow (0, 0)}{rcos( \theta) sen( \theta)} = 0.$$

2) Calcule, se possível, o limite $$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2} }$$

SOLUÇÃO: Fazendo x = \alpha t e y = \beta t , obtemos  \begin{eqnarray} \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2} } & = & \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^4 \alpha^2 \beta^2}{t^4 \alpha^2 \beta^2 + t^2 (\alpha – \beta)^2} } \\ & = & \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + (\alpha – \beta)^2} }. \end{eqnarray}

Observe que se \alpha \neq \beta então podemos aplicar o limite: $$ \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + (\alpha – \beta)^2} } = \frac{0}{0 + (\alpha – \beta)^2} =0.$$ Todavia, se \alpha = \beta então encontraremos um valor diferente para o nosso limite: $$ \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + (\alpha – \beta)^2} } = \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + 0^2} } = \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2} } = \lim\limits_{t \rightarrow 0}{1 } = 1 .$$ Portanto, este limite não existe.

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