Continuidade de Campos Escalares | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Reais, em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar. Nesse artigo queremos estabelecer uma lista de exercícios sobre o conceito de Continuidade para esse tipo de função.

Quando consideramos funções de duas variáveis, seu domínios são conjuntos de pontos (x,y) do plano, que podem ser o plano todo ou conjuntos mais restritos, como retângulos, elipses, semiplanos, quadrantes, etc.

Exercícios Resolvidos Sobre Continuidade de Funções de Várias Variáveis

1) Verifique se as funções dadas são contínuas no ponto indicado:

a) f(x,y) = x\sin{\left( \dfrac{1}{y}\right)} se (x,y) \neq (x,0) e f(x,0) = 0; no ponto (0,0).

Como $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{x\sin{\left( \frac{1}{y}\right)}} = \lim_{t \rightarrow 0}{\alpha t\sin{\left( \frac{1}{\beta t}\right)}} =0$$ por uma consequência do teorema do confronto, então $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{x\sin{\left( \frac{1}{y}\right)}} = 0 = f(0,0).$$ Portanto, a função é contínua no ponto (0,0).

b) f(x,y) = \dfrac{\sin{(x^2+y^2)}}{1 - \cos{\sqrt{x^2+y^2}}} se (x,y) \neq (0,0) e f(0,0) = 2; no ponto (0,0).

Como $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{\sin{(x^2+y^2)}}{1 – \cos{\sqrt{x^2+y^2}}} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin{(t^2 (\alpha ^2+\beta ^2)}}{1 – \cos{\sqrt{t^2 (\alpha ^2+\beta ^2)}}} = $$ $$= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{2 \sqrt{\alpha ^2+\beta ^2} t cos (t^2 (\alpha ^2+\beta ^2))}{sen(t \sqrt{\alpha ^2+\beta ^2} )} = 2$$ pela regra de L’Hospital.

Portanto, a função é contínua no ponto (0,0).

2. Considere f(x,y) = \dfrac{xy^2}{x^2 + y^2} se (x,y) \neq (0,0) e f(0,0)=0. Esta função é contínua em (x,y) = (0,0)?

Observe que $$lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^2} = lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} x \frac{y^2}{x^2 + y^2} = 0$$, pois temos uma função limitada multiplicada por uma que tende a zero.

Logo, $$lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0).$$ Portanto, função é contínua em (x,y) = (0,0).

3) Verifique se a função f(x,y) = \dfrac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)} , se (x,y) \neq (0,0) e f(0,0) = 1 é contínua na origem.

SOLUÇÃO: Neste caso $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)sen(y)}{xy}}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)}{x} \frac{sen(y)}{y}}}. $$

Observe que, $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{sen(x)}{x}} = 1$$ $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(y)}{y}} = \lim_{y \rightarrow 0}{\frac{sen(y)}{y}} = 1$$ pelo Primeiro Limite Fundamental.

Além disso, observe que se fizermos z = xy , então (x,y) \rightarrow (0, 0) \Rightarrow z \rightarrow 0 e, usando novamente o Primeiro Limite Fundamental,

$$ =\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{sen(xy)}{xy}} = \lim_{ z \rightarrow 0}{ \frac{sen(z)}{z}} = 1.$$

Portanto, $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)}{x} \frac{sen(y)}{y}}} = \frac{1}{1 \times 1} = 1. $$

Desta forma, $$f(0,0) = 1 = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}}$$ Portanto esta função é contínua na origem.

4) Verifique se a função f(x,y) = \dfrac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)} , se (x,y) \neq (0,0) e f(0,0) = 1 é contínua na origem.

SOLUÇÃO: Neste caso $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)sen(y)}{xy}}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)}{x} \frac{sen(y)}{y}}}. $$

Observe que, $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{sen(x)}{x}} = 1$$ $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(y)}{y}} = \lim_{y \rightarrow 0}{\frac{sen(y)}{y}} = 1$$ pelo Primeiro Limite Fundamental.

Além disso, observe que se fizermos z = xy , então (x,y) \rightarrow (0, 0) \Rightarrow z \rightarrow 0 e, usando novamente o Primeiro Limite Fundamental,

$$ =\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{sen(xy)}{xy}} = \lim_{ z \rightarrow 0}{ \frac{sen(z)}{z}} = 1.$$

Portanto, $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)}{x} \frac{sen(y)}{y}}} = \frac{1}{1 \times 1} = 1. $$

Desta forma, $$f(0,0) = 1 = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}}$$ Portanto esta função é contínua na origem.

5) Escreva o conjunto em que a função abaixo é contínua:

a) f(x,y) = x^2 y - x^3y^3-x^4 y^4

SOLUÇÃO: Como a função é um polinômio em duas variáveis, o domínio de continuidade é o plano \mathbb{R} ^{2} .

b) f(x,y) = \ln{\left( \dfrac{x+y}{x^2 - y^2} \right)}

SOLUÇÃO: Neste caso o conjunto de continuidade é dado por $$ \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; \frac{x+y}{x^2 – y^2} > 0 \right\}$$, ou seja, $$ \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; x > y \right\}.$$

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