Introdução aos Campos Escalares | Lista de Exercícios Resolvidos

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Abaixo vamos apresentar uma lista de exercícios de funções com domínio no $\mathbb{R} ^2$ simplesmente pela facilidade em estabelecer gráficos e representações do domínio, e também por serem as funções que mais aparecem em aplicações de engenharia, por exemplo.

Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função $f: A \subset \mathbb{R} ^2\rightarrow \mathbb{R}$ . Uma função desta forma associa, a cada par $(x,y) \in A$ , um único número $f(x,y) \in \mathbb{R}$ . O conjunto $A$ é chamado de domínio de $f$ e será indicado por $D_f$ . O conjunto $$Im_f = \left\{ f(x,y) \in \mathbb{R}/ (x,y) \in D_f \right \}$$ é a imagem de $f$ . O conjunto $$G_f=\left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R} ^3 / z=f(x,y),\;\;\; (x,y) \in A \right\}$$ denomina-se gráfico de $f$ .

Domínio, Imagem e Gráfico de Campos Escalares | Lista de Exercícios

1. Determine os domínios de definição de cada uma das funções dadas abaixo e represente-os graficamente:

a) $f(x,y) = \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 - y^2}}$

SOLUÇÃO: O domínio desta função é dado por $$ \{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; x^2 – y^2 \geq 0 \}$$ $$ \{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; x^2 \geq y^2 \}$$ $$ \{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; | x | \geq | y | \}$$

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b) $f(x,y,z) = \sqrt{16 - x^2 - y^2 - z^2}$

SOLUÇÃO: O domínio desta função é dado por $$ \{ (x,y,z) \in \mathbb{R} ^3 ; 16 – x^2 – y^2 – z^2 \geq 0 \}$$ $$ \{ (x,y,z) \in \mathbb{R} ^3 ; x^2 + y^2 + z^2 \leq 16 \},$$ ou seja, o domínio desta função é uma esfera compacta de raio 4:

c) $z = f(x,y),$ onde $x^2 + y^2 + z^2 = a^2; \quad a >0 .$

SOLUÇÃO: Neste caso, temos duas funções dadas implicitamente por $z = \pm \sqrt{a^2 -x^2 - y^2}$ que possuem um mesmo domínio dado por $$ \{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; x^2 + y^2 \leq a^2 \}$$ que é um círculo de raio a>0.

d) $f(x,y) = \dfrac{x (y^2-1)}{x^2 - y^2}$ ;

SOLUÇÃO: Neste caso, observe que precisamos garantir que $x^2 - y^2 \neq 0$ , logo, obtemos $y \neq \pm x$ . Graficamente, são todos os pontos do plano exceto os pontilhados abaixo:

e) $f(x,y) = \ln{(x^2 - y^2)}$ ;

SOLUÇÃO: Neste caso, observe que precisamos garantir que $x^2 - y^2 > 0$ , logo, obtemos $y^2 < x^2 \Leftrightarrow y < |x| \Leftrightarrow -x < y < x$ . Graficamente, são todos os pontos do plano exceto os pontilhados abaixo:

f) $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2 -4}$ ;

SOLUÇÃO: Neste caso, observe que precisamos garantir que $x^2+y^2+z^2 -4 \geq 0$ , logo, obtemos, graficamente, o espaço exterior à esfera com centro na origem e raio igual a 2: