Campos Vetoriais | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Aqui apresentaremos uma segunda lista de exercícios resolvidos sobre campos vetoriais, mas antes vamos a um breve resumo sobre o tema. Seja A um subconjunto do \mathbb{R}^n e \vec{F} uma transformação de A em \mathbb{R}^n. Se para cada ponto de A o associarmos ao vetor \vec{F} iremos nos referir a \vec{F} como um campo vetorial.

No espaço \mathbb{R}^3, considere P(x,y,z) um ponto de um conjunto de pontos do espaço. Se para cada ponto P deste conjunto associarmos um vetor \vec{F}(P) = \vec{F}(x,y,z), então obtemos um campo vetorial para estes pontos e \vec{F}(x,y,z) é denominada função vetorial. Em coordenadas cartesianas, $$\vec{F}(x,y,z) = F_1(x,y,z) i + F_2(x,y,z)j + F_3(x,y,z)k$$ onde i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) e F_i : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}

As curvas que formam o fluxo do campo são também chamadas de curvas integrais do campo, pois se \vec{F}(x,y,z) = F_1(x,y,z) \vec{ i } + F_2(x,y,z) \vec{ j } + F_3(x,y,z) \vec{ k } representa a velocidade das partículas num fluido, o movimento do fluido é completamente determinado pelo sistema $$\frac{dx}{dt} = F_1 \left( x(t), y(t), z(t) \right) $$ $$\frac{dy}{dt} = F_2 \left( x(t), y(t), z(t) \right) $$ $$\frac{dz}{dt} = F_3 \left( x(t), y(t), z(t) \right) ;$$ o que nos leva a associar o campo \vec{F} a um sistema de equações diferenciais ordinárias, cuja solução é o fluxo \gamma (t) = \left( x(t), y(t), z(t) \right) de \vec{F}.

O rotacional de \vec{F}, que se denota por rot\vec{F}, é o campo vetorial definido em A e dado por $$rot \vec{F} = \left|
\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
F_1 & F_2 & F_3
\end{array}
\right| = \nabla \wedge \vec{F}$$ onde \nabla é o vetor gradiente.

O divergente de \vec{F}, que se denota por div(\vec{F}), é o campo vetorial definido em A e dado por $$div\left( \vec{F} \right) = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z} = \nabla . \vec{F}$$ onde \nabla é o vetor gradiente.

Campos Vetoriais | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Encontre o campo gradiente das funções abaixo:

a) f(x,y,z) = 2(x^2+y)-z^2

SOLUÇÃO: Usando a definição, temos que $$\vec{\nabla} f = 4x \vec{i} + 4y \vec{j}- 2z \vec{k}$$

b) f(x,y) = x+e^{y} ;

SOLUÇÃO: $$\vec{\nabla} f = \vec{i} + e^y \vec{j}$$

c) f(x,y) = \dfrac{20}{x^2+y^2} ;

SOLUÇÃO: $$\vec{\nabla} f = -\frac{40\,x}{{\left( {y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{2}} \vec{i} – \frac{40\,y}{{\left( {y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{2}} \vec{j}$$

2) Um escoamento é representado pelo campo de velocidade $$ \vec{v} = 10x \vec{i} – 10 y \vec{j} +30 \vec{k} .$$ Verificar se o escoamento é

a) um possível escoamento incompressível;

SOLUÇÃO: Neste caso devemos verificar se \mathrm{div}{ \vec{v} } = 0 . Temos que \begin{eqnarray} \mathrm{div}{ \vec{v} }  & = & \frac{\partial }{\partial x} (10 x) + \frac{\partial }{\partial y} (- 10 y) + \frac{\partial }{\partial z} (30) \\ & = & 10-10 \\ & = & 0 \end{eqnarray}

b) irrotacional.

SOLUÇÃO: Devemos verificar se \mathrm{rot}{ \vec{v} } = \vec{0} . Temos que $$ \mathrm{rot}{ \vec{v} } = \vec{ \nabla}  \wedge \vec{v} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 10x & -10y & 30 \end{array} \right| =\vec{0} .$$

3) Para um escoamento no plano xy, a componente em y da velocidade é dada por y^2 -2x+2y. Determinar uma possível componente x para um escoamento incompressível.

SOLUÇÃO: Para um escoamento no plano incompressível, devemos ter \mathrm{div}{ \vec{v} } = 0 , onde $$ \vec{v} = v_1 \vec{i} + (y^2 -2x+2) \vec{j}.$$ Temos que $$ \mathrm{div}{ \vec{v} } =  \frac{\partial v_1}{\partial x} +2y +2 = 0 .$$ Resolvendo a equação $$ \frac{\partial v_1}{\partial x} +2y +2 = 0 $$ encontramos uma possível componente em x , isto é, \begin{eqnarray} v_1 & = & \int{(-2y-2)dx} + a(y)\\ & = & -2yx – 2x + a(y)\end{eqnarray}, onde a(y) é qualquer função de y .

4) Verifique se os campos vetoriais abaixo conservativos. Em caso afirmativo encontre a função potencial. Além disso, determine o domínio de cada um deles.

a) \vec{f} (x,y,z) = 2x^2y \vec{i} + 5xz \vec{j} + x^2y^2 \vec{k};

SOLUÇÃO: Podemos ver facilmente que neste caso, o domínio do campo é o \mathbb{R} ^3 , e \mathrm{rot}{ \vec{f} } \neq \vec{0} , logo este não é um campo gradiente no espaço, por consequência não é um campo conservativo.

b) \vec{f} (x,y,z) = (4xy+z) \vec{i} + 2x^2 \vec{j} + x \vec{k};

SOLUÇÃO: Neste caso, o domínio do campo é o \mathbb{R} ^3 , e $$ \mathrm{rot}{ \vec{f} } = \vec{ \nabla}  \wedge \vec{f} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 4xy+z & 2x^2 & x \end{array} \right| =\vec{0},$$ portanto o campo é conservativo, para determinar o potencial $$f(x,y,z) = M(x,y,z)+N(x,y,z)+ L(x,y,z) +c, $$ por

1) M = M(x,y,z) = \int{(4xy+z) dx} = 2x^2 y + zx

2) N = N(x,y,z) = \int{ \left( F_2 - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dy} = \int{ \left( 2x^2 -  2x^2 \right) dy}  = k_1

3) L = L(x,y,z) = \int{ \left( F_3 - \frac{\partial (M + N)}{\partial z} \right) dz} = \int{ \left( x - x \right) dz} = k_2

Portanto, o potencial deste campo é dado por $$f(x,y,z) = 2x^2 y + zx  +c, $$

c) \vec{f} (x,y) = \dfrac{-y}{x^2+y^2} \vec{i} + \dfrac{x}{x^2+y^2} \vec{j};

SOLUÇÃO: Neste caso, o domínio do campo é o \mathbb{R} ^2 - \{ (0,0) \} . Se este campo for conservativo existirá uma função \phi (x,y) , de modo que $$ \nabla \phi (x,y) = \left( \frac{ \partial \phi}{\partial x} , \frac{ \partial \phi}{\partial y} \right) = \left( \frac{-y}{x^2+y^2} , \frac{x}{x^2+y^2}  \right) = \vec{f} (x,y) .$$ Desta forma, $$ \frac{ \partial \phi}{\partial x} = \frac{-y}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \phi (x,y) = -arctg(x/y) + g(y) . $$ Logo, $$ \frac{ \partial \phi}{\partial y} = \frac{x}{x^2+y^2} = \frac{x}{x^2+y^2} + g'(y) \Leftrightarrow g(y) = k.$$ Portanto, o campo é conservativo e seu potencial é dado por $$ \phi (x,y) =  -arctg(x/y) + k .$$

d) \vec{f} (x,y,z) = (yz+2) \vec{i} + (xz+1) \vec{j} + (xy+2z) \vec{k};

SOLUÇÃO: Neste caso, o domínio do campo é o \mathbb{R} ^3 , e $$ \mathrm{rot}{ \vec{f} } = \vec{ \nabla}  \wedge \vec{f} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ yz+2 & xz+1 & xy+2z \end{array} \right| =\vec{0},$$ portanto o campo é conservativo, para determinar o potencial $$f(x,y,z) = M(x,y,z)+N(x,y,z)+ L(x,y,z) +c, $$ por

1) M = M(x,y,z) = \int{(yz+2) dx} = xyz+2x

2) N = N(x,y,z) = \int{ \left( F_2 - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dy} = \int{ \left( 1 \right) dy}  = y

3) L = L(x,y,z) = \int{ \left( F_3 - \frac{\partial (M + N)}{\partial z} \right) dz} = \int{ \left( 2z\right) dz} = z^2

Portanto, o potencial deste campo é dado por $$f(x,y,z) = xyz+2x + y + z^2  +c. $$

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