Diferenciabilidade | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Dizemos que a função f(x,y) é diferenciável no ponto (x_0, y_0) se as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) e \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) existem e se $$\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{f(x,y) – f(x_0, y_0) – \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) (x-x_0) – \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) (y-y_0)}{\| (x,y) – (x_0, y_0) \|}} = 0.$$

Dizemos que f é diferenciável num conjunto A \subset D_f, se f for diferenciável em todos os pontos de A. Se uma das derivadas parciais não existe no ponto (x_0,y_0), f não é diferenciável neste ponto.

Seja (x_0, y_0) um ponto do domínio da função f(x,y). Se f(x,y) possui derivadas parciais \frac{\partial f}{ \partial x} e \frac{\partial f}{ \partial y} num conjunto A (aberto) que contém (x_0, y_0) e se essas derivadas parciais são contínuas em (x_0, y_0), então f é diferenciável em (x_0, y_0).

Diferenciabilidade | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Considere f(x,y) = \sqrt{|xy|}.

a) Qual o domínio desta função?

SOLUÇÃO:  \mathbb{R} ^2 .

b) Esta função é contínua em todos os pontos do plano?

SOLUÇÃO: De fato, sendo (x_0 , y_0 ) qualquer ponto do plano, então f(x_0 , y_0 ) = \sqrt{|x_0 y_0 |} e $$\lim \limits_{(x,y) \rightarrow (x_0 , y_0 )}{\sqrt{|xy|}} = \sqrt{|x_0 y_0 |} = f(x_0 , y_0 ) .$$ Portanto, pela definição, esta é uma função contínua em todos os pontos do plano.

c) Calcule as derivadas parciais de f(x,y) no ponto (0,0) .

SOLUÇÃO: \begin{eqnarray} \frac{\partial f }{\partial x }  & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(0 + h,0) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(h,0) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{|h \times 0|} – 0}{h}} \\ & = & 0\\ \frac{\partial f }{\partial y }  & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(0,0+h) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(0,h) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{|h \times 0|} – 0}{h}} \\ & = & 0 \end{eqnarray}

d) Estude a diferenciabilidade desta função no ponto (0,0)

SOLUÇÃO: Substituindo o ponto (0,0) na função f(x,y) = \sqrt{|xy|} , encontramos f(0,0) = \sqrt{|0 \times 0|} = 0. Agora, calculando as derivadas parciais desta função no ponto (0,0) , encontramos:

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x } (0,0) & = &  \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{\sqrt{|(0 + h) \times 0|} \; – \; 0}{h} } \\ & = &  \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{0 \; – \; 0}{h} } \\ & = & 0 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial y } (0,0) & = &  \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{\sqrt{| 0 \times (0 + h) |} \; – \; 0}{h} } \\ & = &  \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{0 \; – \; 0}{h} } \\ & = & 0 \end{eqnarray}

Agora, usando a definição de diferenciabilidade investigamos o limite \begin{eqnarray} L & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{x^2+y^2 – \left( x_0^2 +y_0^2 + 2x_0 (x-x_0)+ 2y_0 (y-y_0) \right)}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}}}\\ & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{ \sqrt{|xy|} – \left( 0 + 0 \times (x-0)+ 0 \times (y-0) \right)}{\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2}}}\\ & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{ \sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2 + y^2}}} \end{eqnarray}

Fazendo $$ x(t) = \alpha t \qquad y(t) = \beta t $$ encontramos \begin{eqnarray} L & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{ \sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2 + y^2}}}\\ & = & \lim_{t \rightarrow 0}{ \frac{ \sqrt{|\alpha \beta | t^2 }}{\sqrt{t^2 ( \alpha ^2 + \beta ^2 )}}}\\ & = & \lim_{ | t | \rightarrow 0}{ \frac{ | t | \sqrt{|\alpha \beta | }}{t \sqrt{ ( \alpha ^2 + \beta ^2 )}}} \\ & = & \frac{ \sqrt{|\alpha \beta | }}{ \sqrt{ ( \alpha ^2 + \beta ^2)}}\end{eqnarray}

Logo, este limite não existe, consequentemente, a função f(x,y) = \sqrt{|xy|} , não é diferenciável no ponto (0,0) . VÍDEO AULA: Assista nossa vídeo-aula sobre este exercício clicando aqui

2) Mostre que a função f(x,y) = \sqrt{|y|} cos(x) não é diferenciável na origem porque alguma de suas derivadas parciais deixa de existir neste ponto.

SOLUÇÃO: Lembre-se que dizemos que a função f(x,y) é diferenciável no ponto (x_0, y_0) se as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) e \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) existem e se $$\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{f(x,y) – f(x_0, y_0) – \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) (x-x_0) – \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) (y-y_0)}{\| (x,y) – (x_0, y_0) \|}} = 0.$$

Vamos verificar, inspirado no termo \sqrt{|y|} , a existência da derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y} (0 , 0):

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial y} (0 , 0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{f(0, h) – f(0,0)}{h} }\\ & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{\sqrt{|h|} cos(0) – 0}{h} } \\ & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{\sqrt{|h|}}{h} } = \infty \end{eqnarray}

Portanto, \dfrac{\partial f}{\partial y} (0 , 0) não existe.

3) Seja f(x,y) uma função definida por f(x,y) = \dfrac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} ; (x,y) \neq (0,0) e f(0,0) = 0 . Verifique se esta função é diferenciável na origem.

SOLUÇÃO: Lembre-se que dizemos que a função f(x,y) é diferenciável no ponto (x_0, y_0) se as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) e \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) existem e se $$\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{f(x,y) – f(x_0, y_0) – \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) (x-x_0) – \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) (y-y_0)}{\| (x,y) – (x_0, y_0) \|}} = 0.$$

Calculando as derivadas parciais na origem, encontramos: \begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} (0 , 0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{f(h, 0) – f(0,0)}{h} } \\ & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{0 – 0}{h} } = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} (0 , 0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{f(0, h) – f(0,0)}{h} } \\ & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{0 – 0}{h} } = 0 \end{eqnarray}

Agora, usando coordenadas polares, observe que $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{f(x,y) – f(0, 0) – \frac{\partial f}{\partial x} (0 , 0) (x-0) – \frac{\partial f}{\partial y} (0 , 0) (y-0)}{\| (x,y) – (0, 0) \|}} = $$ $$ = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{f(x,y)}{\| (x,y) \|}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{\frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{x^2 y^2}{(x^2 + y^2) \sqrt{x^2 + y^2}}}=$$ $$ = \lim_{r \rightarrow 0}{\frac{r^4 sen^2 ( \theta ) cos ^2 ( \theta )}{r^3}} = \lim_{r \rightarrow 0}{r sen^2 ( \theta ) cos ^2 ( \theta )} = 0.$$ Portanto, a função é diferenciável na origem.

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