A Regra da Cadeia Para Campos Escalares | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

A regra da cadeia é a maneira de definir a diferenciabilidade de funções compostas. Nesta lista de exercícios trabalharemos com para Funções de Várias Variáveis a Valores Reais, que em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar.

Com frequência, temos a função composta dada por z=f(x(t),y(t)) e pede, calcular-se \frac{dz}{dt}. Assim, $$\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}\left[ f(x,y) \right] = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}.$$

Pode-se ter que calcular a composição de dois campos escalares com um campo escalar. Seja a função composta h(x,y) = f\left( u(x,y) , v(x,y) \right) nas condições dadas neste artigo, então $$\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} . \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} . \frac{\partial v}{\partial x}$$
$$\frac{\partial h}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} . \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} . \frac{\partial v}{\partial y}$$

1ª Lista de Exercícios Resolvidos sobre Regra da Cadeia

1) Utilize a regra da cadeia pra determinar \dfrac{dz}{dt} para as funções abaixo:

a) z= x^2+3y^2, sendo x=\sin{t} e y=\cos{t}

$$\frac{dz}{dt} = 2x \cos{(t)} + 6y (-\sin{(t))} = -4 \cos{(t)} \sin{(t)}. $$

b) z= \ln{(1+x^2+y^2)}, sendo x=\sin{3t} e y=\cos{3t}.

$$\frac{dz}{dt} = \frac{6 sen(3t)cos(3t)}{1+sen^2(3t) +cos ^2 (3t)}- \frac{6 sen(3t)cos(3t)}{1+sen^2(3t) +cos ^2 (3t)} = 0$$

2) Determinar as derivadas parciais das funções abaixo fazendo uso da regra da cadeia:

a) z= \sqrt{u^2+v^2+5}, sendo u=\cos{x} e v=\sin{y}.

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2senxcosx}{2 \sqrt{cos^2 x + sen^2 y +5}}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2senycosy}{2 \sqrt{cos^2 x + sen^2 y +5}}$$

b) z= uv-v^2+2, sendo u=x^2+y^2 e v=x-y+xy

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x(x-y+xy)+(1+y)(x^2+y^2 – x + -xy)$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y(x-y+xy)+(x-1)(x^2+y^2 – x + -xy)$$

c) z= \ln{(xy)}, sendo x=2u^2+v^4 e y=3u^2+v^2.

$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{4u}{2u^2 + v^2} + \frac{6u}{3u^2 + v^2}$$

$$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{4v}{2u^2 + v^2} + \frac{2v}{3u^2 + v^2}$$

3) Suponha que para todo t, f(t^2, 2t) = t^3 - 3t. Mostre que $$\frac{\partial f}{\partial x} (1,2)= -\frac{\partial f}{\partial y}(1,2).$$

Aqui temos a composição de uma função f(x, y) não determinada com a curva \gamma (t) = (t^2, 2t).

Pela regra da cadeia, temos que: $$\frac{df}{dt}f(t^2, 2t) = \frac{\partial f}{\partial x}(t^2, 2t).(t^2)’+\frac{\partial f}{\partial y}(t^2, 2t).(2t)’$$ $$=2t \frac{\partial f}{\partial x}(t^2, 2t) +2 \frac{\partial f}{\partial y}(t^2, 2t)$$

Como f(t^2, 2t) = t^3 - 3t, então $$ 3t^2 – 3 = \frac{df}{dt} (t^2, 2t) = 2t \frac{ \partial f}{ \partial x} (t^2, 2t) + 2 \frac{ \partial f}{ \partial y} (t^2, 2t).$$

Notando que \gamma (1) = (1, 2) e substituindo t=1 na igualdade acima, temos que

$$3-3 = 2 \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) +2 \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 0 = 2 \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) +2 \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 2 \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2)= – 2 \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2).$$

Portanto, $$ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2)= – \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2).$$

4) Calcule, usando a regra da cadeia, as derivadas parciais \partial f / \partial u e \partial f / \partial v das funções abaixo:

a) f(x,y) = x^2 - 5xy + y^2, x = u + v , y = u-v;

SOLUÇÃO: Pela regra da cadeia,

$$\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial u} = (2x – 5y) \times 1 + (-5x + 2y ) \times 1 = \\ = -3x – 3y = – 3 (u+v) – 3 (u – v) = -6u$$
$$\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial v} = (2x – 5y) \times 1 + (-5x + 2y ) \times (-1) = \\ = 7 x – 7y = 7(u+v) – 7 (u-v) = 14 v$$

b) f(x,y) = tg \left( x^2 - 3y^2 \right), x = u cos(v) , y = usen(v).

SOLUÇÃO: Pela regra da cadeia,

$$\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial u} = (2\,x\,{\mathrm{sec}\left( 3\,{y}^{2}-{x}^{2}\right) }^{2}) \times cos(v) – \\  (-6\,y\,{\mathrm{sec}\left( 3\,{y}^{2}-{x}^{2}\right) }^{2} ) \times sen(v) = \\ = \frac{u\,\mathrm{cos}\left( 2\,v\right) +u}{{\mathrm{cos}\left( 3\,{u}^{2}\,{\mathrm{sen}\left( v\right) }^{2}-{u}^{2}\,{\mathrm{cos}\left( v\right) }^{2}\right) }^{2}} +\frac{3\,u\,\mathrm{cos}\left( 2\,v\right) -3\,u}{{\mathrm{cos}\left( 3\,{u}^{2}\,{\mathrm{sen}\left( v\right) }^{2}-{u}^{2}\,{\mathrm{cos}\left( v\right) }^{2}\right) }^{2}} = \\ = \frac{4 u\,\mathrm{cos}\left( 2\,v\right) – 2 u }{{\mathrm{cos}\left( 3\,{u}^{2}\,{\mathrm{sen}\left( v\right) }^{2}-{u}^{2}\,{\mathrm{cos}\left( v\right) }^{2}\right) }^{2}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial v} = (2\,x\,{\mathrm{sec}\left( 3\,{y}^{2}-{x}^{2}\right) }^{2}) \times (-u sen(v)) – \\  (-6\,y\,{\mathrm{sec}\left( 3\,{y}^{2}-{x}^{2}\right) }^{2} ) \times u cos(v) = \\ = -\frac{3\,{u}^{2}\,\mathrm{sen}\left( 2\,v\right) }{{\mathrm{cos}\left( 3\,{u}^{2}\,{\mathrm{sen}\left( v\right) }^{2}-{u}^{2}\,{\mathrm{cos}\left( v\right) }^{2}\right) }^{2}} -\frac{{u}^{2}\,\mathrm{sen}\left( 2\,v\right) }{{\mathrm{cos}\left( 3\,{u}^{2}\,{\mathrm{sen}\left( v\right) }^{2}-{u}^{2}\,{\mathrm{cos}\left( v\right) }^{2}\right) }^{2}} = \\ = -\frac{4\,{u}^{2}\,\mathrm{sen}\left( 2\,v\right) }{{\mathrm{cos}\left( 3\,{u}^{2}\,{\mathrm{sen}\left( v\right) }^{2}-{u}^{2}\,{\mathrm{cos}\left( v\right) }^{2}\right) }^{2}}$$

5) Calcule, usando a Regra da Cadeia, as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial u} e \dfrac{\partial z}{\partial v} sendo z = f(x,y) = x tg(y), x(u,v) = u^2 e y(u,v) = \dfrac{1}{1+v}.

SOLUÇÃO: Usando a Regra da cadeia encontramos \begin{eqnarray} \frac{\partial f }{\partial u }  & = & 2 u \tan \left( \frac{1}{1+v} \right) \\ \frac{\partial f }{\partial v }  & = & \frac{-u^2}{(1+v)^2} \sec ^2 \left( \frac{1}{1+v} \right)   \end{eqnarray}

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